Browsed by
Tag: pokerová matematika

Pomůcka na výpočet preflop pravděpodobností

Pomůcka na výpočet preflop pravděpodobností

V minulém článku jsem ukázal pravděpodobnostní tabulky pro hru před flopem: http://www.doameriky.com/2012/02/05/preflop-pravdepodobnost-pro-jednoho-az-sedm-protihracu/. Zároveň s tím jsem anoncoval, že kromě těchto tabulek je také způsob, jak si hodnoty odvodit bez nutnosti si vše pamatovat. V dnešním článku ukážu kromě výsledného postupu také, jakým způsobem jsem se k této pomůcce dobral.

Zjednodušení tabulky

Naši cestu za způsobem, jak si tabulku zapamatovat, začneme rekapitulací. Soubor s vygenerovanými statistikami je k dispozici na Preflop statistics – first version.

Poznámka: Kvůli přehlednosti budu v článku pracovat jen s prvními třemi tabulkami (proti 2,3 a 4 protihráčům), tabulky ve všech přiložených souborech a výsledky však budou až proti sedmi hráčům.

Krok první, hledání závislostí

Prvním krokem při hledání nějakého zjednodušujícího vzorce je analýza dat a hledání souvislostí mezi nimi. Nejprve se na data podíváme a zkusíme najít nějaké přírůstky nebo úbytky, případně násobky či dělitele. Protože většina čísel je od sebe jen nepatrně rozdílná, násobky či dělitelé pro nás nejsou praktické (při takto malých rozdílech bychom museli násobit desetinnými čísly).

Při hledání souvislostí tedy budeme používat jen sčítání a odčítání. Dalším úkolem je najít způsob, jak z co nejmenšího počtu čísel dopočítat ideálně celou tabulku. Pokud se na tabulku podíváme, dalo by se vycházet z hodnoty pravděpodobnosti AA. Poté pokračovat po diagonále přes všechny dvojice až do 22. Dále pak potřebujeme způsob, jak přejít na suited a offsuited kombinace.

Závislost hodnot na diagonále

Podívejme se tedy nejprve na diagonálu. V úvahu nám připadají dvě možnosti, jak závislost hledat. Buď budeme počítat rozdíl hodnoty kterékoli dvojice vůči výchozí hodnotě AA, nebo jako rozdíl hodnoty mezi libovolnou dvojící a dvojicí předcházející. Pokud zkusíme tyto rozdíly spočítat, dostaneme následující výsledky:

První sloupec ukazuje diagonální hodnoty, druhý sloupec ukazuje hodnoty po spočítání rozdílu mezi hodnotou a předchozí hodnotou na diagonále, třetí sloupec pak hodnoty po odečtení pravděpodobnosti dvojice vůči AA pravděpodobnosti. Jak jde vidět, hodnoty ve třetím sloupci nám moc nepomůžou, protože v nich žádný vzorec není. Oproti tomu druhý sloupec bude možné při určitém zaokrouhlení použít.

Závislost ostatních hodnot

Nyní zkusíme odvodit stejným způsobem také přechod z dvojic do suited a offsuited oblasti. Výsledné hodnoty spočítáme tak, že odečteme pravděpodobnost párové hodnoty od suited/offsuited hodnoty. Například pro AK odečteme pravděpodobnost této kombinace od kombinace karet AA. Když už budeme mít spočítaný přechod z dvojice do suited/offsuited zóny, spočítáme i rozdíly mezi postupně se zhoršujícími dvojicemi karet. Například tedy odečteme pravděpodobnosti mezi A9 a A8.

Pokud tyto operace zadáme pro všechny hodnoty v tabulkách, získáme následující výsledky (kompletní XLS soubor ke stažení zde

Pokud se na výsledky podíváme, je vidět, že se nejedná o úplně lineární změny. To nám ale pro naše hledání zjednodušeného postupu výpočtu nevadí. To, že se celkový výsledek bude lišit v řádu procent od skutečné hodnoty, stejně při živých turnajích nebude nijak výslednou hru ovlivňovat.

Závislost na počtu protihráčů

Poslední závislost, kterou hledáme, je závislost mezi pravděpodobnostmi AA při různém počtu protihráčů. Ta je pro nás naštěstí také velmi jednoduchá. Proti jednomu je výchozí hodnota 85%, proti dvěma 75%, proti třem 65%, proti čtyřem 55%. Od pěti hráčů již hodnoty neklesají o 10% ale jen o 5%.

Zprůměrování hodnot

Nyní, když už máme vše spočítáno pro všechny situace, je potřeba si hodnoty co nejvíce zjednodušit. To uděláme tak, že výše popsané hodnoty co nejvíce zprůměrujeme, ale zároveň se pokusíme o co nejvyšší přesnost. Spočítáme tedy průměrnou hodnotu při procházení přes páry, dále průměrnou hodnotu přechodu do suited/offsuited oblasti a průměrnou hodnotu posunu po libovolné dvojici. Tím získáme následující:

Výsledné pravidlo

A tím se dostáváme k finálnímu výpočtu. Pokud si vytáhneme všechny doposud spočítané hodnoty do souhrné tabulky, získáme tento souhrn:

Zde je vysvětlení jednotlivých sloupců:

  • počet protihráčů
  • počáteční hodnota
  • hodnota, kterou odčítáme od výchozího čísla, pokud se pohybujeme po diagonále
  • hodnota, o kterou odečteme číslo získané při pohybu po diagonále, při přechodu do suited zóny
  • hodnota, o kterou odečteme číslo získané při pohybu po diagonále, při přechodu do offsuited zóny
  • hodnota, kterou odčítáme při horizontálním nebo vertikálním pohybu tabulkou v suited / offsuited zóně

I tato tabulka se dá ještě dále zjednodušit, jelikož řada hodnot je velmi podobná, a v rámci co nejjednodušších výpočtů můžeme nějakou odchylku tolerovat.

Stačí nám zapamatovat si tedy 85%, pak 10%, resp 5% pro kalibraci při rostoucím počtu protihráčů. Dále hodnotu 3%, kterou odčítáme při pohybu po diagonále, dále konstantu mezi 20%-5% při přechodu do suited zóny dle počtu hráčů, o 3% vyšší hodnotu při přechodu do offsuited zóny a konstantu 1,3% při horizontálním/vertikálním pohybu po tabulce. A to je vše. Oproti původní tabulce s tisícem hodnot si potřebujem zapamatovat jen jeden postup a cca 7 konstant.

Aplikace postupu v praxi

A nyní již jen zbývá ukázat, jak získaný algoritmus uplatnit v praxi.

J8 suited proti jedomu protihráči

Výchozí hodnota 85% odpovídající kartám AA. Nyní se po diagonále posuneme na JJ, to je posun o 3 karty, každý posun 3%, odečteme tedy 9% od 85%. Prozatimní výsledek 76%. Nyní přejdeme do suited zóny na hodnotu odpovídající kartě JT. Při přechodu odčítáme hodnotu 20%, tím získáváme pravděpodobnost 56%. Nyní již jen zbývá posunout se horizontálně na kombinaci J8. To je posun o další dvě karty doprava, tzn 2 * 1.3%, tzn 2.6%. Odečteme tedy tuto hodnotu od dosavadního výsledku 56% a získáme finální hodnotu 55.4%.

Pokud hodnotu z našeho zjednodušeného výpočtu porovnáme s hodnotou z generované tabulky, liší se výsledek o cca 1%. To je velmi dobrý výsledek. Obecně i rozdíl 10% je ještě stále pro potřeby živé hry ideální.

K3 offsuite proti pěti hráčům

Druhý příklad ukazuje výpočet síly karet K3[/car] proti pěti protihráčům. Opět vycházíme z hodnoty 85%. Tentokrát musíme odečíst 10% za každého z prvních tří protihráčů, dalších 5% za každého dalšího. Odčítáme tedy hodnotu 35%. Dále se musíme po diagonále posunout na KK, tudíž odečteme 3%. Poté přejdeme do offsuited zóny, což je při pěti hráčích cca 7%+3%. A poté vertikální posun z KQ na karty K3. To je posun o 9 pozic, tudíž 9*1.1 = ~9%. Celkem tedy máme výpočet 85%-35%-3%-10%-9% = 28%.

Opět porovnáme výsledek našeho výpočtu s vygenerovanou hodnotou z tabulky. Dostáváme tedy 28% proti 23%. Rozdíl pouhých 5%. Navíc v situaci, kdy stojíme s relativně špatnými kartami proti velkému počtu hráčů.

Závěr

A jsme u konce dnešního článku. Doufám, že jsem celou metodiku analýzy i výslednou metodu popsal dostatečně srozumitelně a přijde vhod i někomu z vás. Pokud někdo budete mít zájem, zde je ke stažení výsledný XLS soubor. Stejně jako vždy, pokud budete mít jakýkoli dotaz k výše zmíněnému, neváhejte se zeptat dole v komentářích.

Preflop pravděpodobnost pro jednoho až sedm protihráčů

Preflop pravděpodobnost pro jednoho až sedm protihráčů

Před nějakou dobou jsem se v jednom ze svých článků zmiňoval o matematické metodě Monte Carlo a jejím využití při počítání pravděpodobností pomocí počítače. Tento týden jsem měl chvilku času, a tak jsem se věnoval implementaci základního generátoru. Podrobnější informace o generátoru a dalších informace o generování statistik sepíšu v některém z dalších článků.

Hlavním důvodem, proč jsem generátor statistik tento týden vytvořil, byly preflop statistiky. Nikde na internetu ani v knížkách jsem nenašel nějaké ucelené tabulky pravděpodobností s jednotlivými kombinacemi. Když už někde nějaká zmínka byla, bylo to vždy uvedeno maximálně proti jednomu hráči. Ale co když chci vědět, jak silné je mé Ah4h proti čtyřem hráčům? Možností je, zadat tuto kombinaci do některé z pokerových kalkulaček. Pokud ale budete chtít vidět statistiky pro rozsah karet a pro více hráčů, nezbude Vám, než si hodnoty ručně vypsat.

Prvním krokem tedy bylo napsat generátor a vygenerovat všechna data. Výsledky můžete vidět níže. Pro případné zájemce, kteří by chtěli s daty dále pracovat, přikládám také výsledná data ve formátu CSV, který můžete otevřít například pomocí aplikace Microsoft Excel: Preflop statistics.

Jelikož se jedná o spoustu čísel, které si asi většina lidí (neba alespoň já ne ;-)) nezapamatuje, našel jsem několik pomocných způsobů, jak alespoň hrubě tato čísla narychlo z hlavy spočítat. O tom ale až v příštím článku, jelikož tento je díky tabulkám už tak dost dlouhý. Pokud by někdo měl zájem o nějaké podobné pravděpodobnostní tabulky, pište do komentářů náměty a není problém je vygenerovat.
A nyní již výsledné tabulky. První tabulka ukazuje rozložení kombinací, ty další pak pravděpodobnosti proti jednomu hráči až sedmi protihráčům.

Card A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A AA AKs AQs AJs ATs A9s A8s A7s A6s A5s A4s A3s A2s
K AKo KK KQs KJs KTs K9s K8s K7s K6s K5s K4s K3s K2s
Q AQo KQo QQ QJs QTs Q9s Q8s Q7s Q6s Q5s Q4s Q3s Q2s
J AJo KJo QJo JJ JTs J9s J8s J7s J6s J5s J4s J3s J2s
T ATo KTo QTo JTo TT T9s T8s T7s T6s T5s T4s T3s T2s
9 A9o K9o Q9o J9o T9o 99 98s 97s 96s 95s 94s 93s 92s
8 A8o K8o Q8o J8o T8o 98o 88 87s 86s 85s 84s 83s 82s
7 A7o K7o Q7o J7o T7o 97o 87o 77 76s 75s 74s 73s 72s
6 A6o K6o Q6o J6o T6o 96o 86o 76o 66 65s 64s 63s 62s
5 A5o K5o Q5o J5o T5o 95o 85o 75o 65o 55 54s 53s 52s
4 A4o K4o Q4o J4o T4o 94o 84o 74o 64o 54o 44 43s 42s
3 A3o K3o Q3o J3o T3o 93o 83o 73o 63o 53o 43o 33 32s
2 A2o K2o Q2o J2o T2o 92o 82o 72o 62o 52o 42o 32o 22
vs 1 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 85.60 67.26 66.41 65.55 64.57 62.62 61.87 61.19 59.62 59.84 58.72 58.34 57.13
K 65.73 82.72 63.63 62.76 62.05 60.05 58.27 57.65 56.64 55.43 54.80 53.86 53.30
Q 64.46 61.60 80.16 60.53 59.79 57.60 55.92 54.23 53.46 52.83 51.89 51.10 50.21
J 63.53 60.89 57.93 77.74 57.81 55.79 53.81 52.07 50.71 49.94 49.11 47.99 47.82
T 62.73 60.12 57.35 55.33 75.15 54.24 52.28 50.82 48.95 47.15 46.55 45.86 44.99
9 60.65 57.73 55.52 53.62 51.73 72.18 50.79 49.31 47.38 45.75 43.52 43.22 42.51
8 60.23 55.89 53.58 51.53 49.88 48.12 69.38 48.15 46.02 44.92 42.63 40.82 40.32
7 58.72 54.92 51.70 49.86 47.86 46.16 45.06 66.41 45.46 43.50 41.94 39.81 38.28
6 57.60 54.41 50.91 47.90 46.28 44.51 43.32 42.05 63.80 43.08 41.63 39.47 37.61
5 57.53 52.95 49.99 47.02 44.38 42.72 41.54 40.54 40.01 60.67 41.16 39.78 37.97
4 56.63 52.28 48.85 46.02 43.34 40.71 39.50 38.34 37.87 38.07 57.23 38.70 36.75
3 55.76 51.55 48.23 45.35 42.54 39.65 37.53 36.75 36.25 36.13 35.08 54.30 36.30
2 54.74 50.35 47.08 44.05 41.50 39.21 36.69 34.66 34.32 34.42 33.12 32.19 50.87
vs 2 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 73.62 50.44 48.99 47.83 46.88 44.08 42.92 42.21 40.62 41.06 40.07 39.26 38.43
K 48.05 69.34 46.81 45.43 44.48 42.01 39.69 39.01 37.74 36.95 36.04 35.67 34.56
Q 46.67 44.38 64.98 44.19 42.86 40.21 38.32 36.10 35.35 34.50 33.99 33.12 32.31
J 45.18 43.16 41.03 61.20 41.54 39.23 37.09 35.02 33.11 32.44 31.61 31.13 30.34
T 43.93 41.71 39.86 38.83 57.82 38.36 36.51 34.42 32.31 30.50 30.21 29.08 28.31
9 41.23 39.14 37.34 36.18 35.39 53.63 35.55 33.97 31.82 29.86 27.96 27.70 26.82
8 40.03 36.69 34.81 33.55 33.18 32.28 50.04 33.33 31.65 29.84 27.97 25.80 25.59
7 38.97 35.65 32.54 31.56 30.91 30.52 30.19 46.63 31.39 30.06 27.93 26.32 24.19
6 37.68 34.49 31.97 29.64 28.55 28.31 27.83 28.02 43.00 29.93 28.36 26.19 24.51
5 37.82 33.75 31.19 28.78 26.78 25.76 25.84 26.00 26.58 40.00 28.73 26.99 25.34
4 37.01 32.66 29.99 28.06 26.00 24.14 24.17 24.08 24.51 25.06 36.71 26.28 24.47
3 35.96 31.82 29.22 26.93 25.27 23.66 22.32 22.12 22.38 23.36 22.10 33.59 23.57
2 35.18 30.84 28.19 25.93 24.49 22.73 21.68 20.15 20.59 21.14 20.50 19.62 30.92
vs 3 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 63.77 41.08 39.27 38.02 36.70 34.25 33.04 31.82 30.79 31.50 30.35 29.69 29.00
K 38.22 58.23 37.62 36.72 35.36 32.34 30.30 29.52 28.56 27.43 26.73 26.46 25.55
Q 36.68 34.76 53.65 34.99 34.19 31.47 29.32 27.32 26.71 25.76 25.22 24.60 23.75
J 35.03 33.22 32.15 49.22 33.37 30.73 28.70 26.90 25.04 24.23 23.82 23.21 22.29
T 33.65 31.76 30.88 30.59 45.09 30.45 28.51 26.17 24.46 22.85 22.55 21.65 21.19
9 30.57 29.12 27.92 27.21 27.14 41.11 27.95 25.99 24.55 22.43 20.86 20.51 19.87
8 29.32 26.57 25.58 24.87 24.96 24.56 37.22 26.29 24.35 22.63 21.06 19.53 19.20
7 28.41 25.67 23.65 22.70 22.92 22.51 22.66 34.02 24.72 22.83 21.50 19.77 18.38
6 26.73 24.69 22.70 20.87 20.72 20.58 20.69 20.77 31.56 23.25 21.88 20.14 18.46
5 27.17 23.93 21.81 20.33 18.72 18.63 19.01 19.37 19.37 28.63 22.26 20.81 19.14
4 26.55 23.23 21.12 19.77 18.04 16.63 17.15 17.38 17.90 18.66 26.34 19.89 18.48
3 25.62 22.34 20.30 18.92 17.71 16.34 15.17 15.72 15.96 16.73 16.08 23.49 17.87
2 24.88 21.46 19.89 18.33 17.05 15.67 14.71 13.92 14.18 15.01 14.52 13.47 21.52
vs 4 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 56.04 34.83 33.10 31.80 30.34 27.69 26.89 26.03 24.98 25.57 24.86 24.19 23.66
K 31.63 49.54 31.97 30.30 29.41 26.80 24.71 23.53 22.78 22.54 21.86 21.35 20.97
Q 29.78 28.98 44.27 29.59 28.57 25.90 23.81 22.10 21.39 20.94 20.25 19.83 19.41
J 28.28 27.17 26.61 40.19 27.96 25.40 23.67 21.66 20.12 19.34 18.98 18.40 18.01
T 26.98 25.91 24.90 24.81 36.16 25.49 23.64 21.85 19.94 18.59 17.99 17.49 16.96
9 24.10 22.89 22.31 21.75 21.87 32.22 23.03 21.51 19.81 18.44 17.00 16.65 16.13
8 22.74 20.71 20.08 19.80 20.16 19.52 29.26 21.65 20.13 18.62 17.09 15.75 15.43
7 21.90 19.83 17.80 17.84 17.83 17.75 18.10 26.00 20.42 19.20 17.35 15.92 14.66
6 20.51 18.97 17.14 16.02 15.96 15.93 16.36 16.66 23.56 19.34 17.78 16.49 15.21
5 21.10 18.46 16.64 15.20 14.34 14.27 14.77 15.22 15.56 21.97 18.60 17.17 15.78
4 20.57 17.49 15.81 14.66 13.76 12.65 13.22 13.52 13.87 14.88 19.83 16.45 15.53
3 20.01 16.78 15.48 14.41 13.06 12.16 11.34 12.00 12.38 13.16 12.81 18.26 14.85
2 19.20 16.32 14.81 13.53 12.74 11.71 10.88 10.37 10.95 11.72 10.93 10.52 16.88
vs 5 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 48.86 30.61 28.57 27.12 26.18 23.34 22.49 21.84 21.10 21.47 20.98 20.56 19.96
K 27.02 42.39 27.72 26.31 25.22 22.55 20.87 20.17 19.44 18.96 18.42 18.14 17.39
Q 25.24 24.32 37.20 25.66 24.63 22.28 20.19 18.68 18.05 17.49 17.03 16.76 15.88
J 23.73 22.74 22.08 33.11 24.38 21.77 19.98 18.17 16.92 16.44 15.92 15.40 15.28
T 22.21 21.51 20.95 20.96 29.37 21.91 20.23 18.28 17.11 15.54 15.06 14.78 14.50
9 19.54 18.79 18.35 18.16 18.55 26.05 19.89 18.51 16.98 15.49 14.23 13.87 13.50
8 18.43 16.68 16.24 16.21 16.43 16.04 23.01 18.67 17.22 15.75 14.46 13.33 12.94
7 17.61 15.91 14.38 14.36 14.53 14.47 14.90 21.15 17.60 16.40 15.00 13.58 12.26
6 16.80 14.97 13.98 12.75 12.76 12.96 13.53 13.77 19.24 16.96 15.44 14.21 12.79
5 17.58 14.65 13.13 12.29 11.43 11.31 11.93 12.45 12.98 17.74 16.12 15.01 13.84
4 16.68 14.24 12.68 11.74 10.93 9.80 10.53 11.07 11.56 12.25 16.25 14.47 13.33
3 16.12 13.62 12.35 11.32 10.70 9.58 8.98 9.45 10.23 11.04 10.47 15.33 12.66
2 15.49 13.22 11.69 10.89 10.10 9.25 8.64 8.29 8.74 9.60 9.08 8.65 14.31
vs 6 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 43.47 26.98 25.18 24.13 22.64 20.68 19.65 18.89 18.32 18.86 18.37 18.08 17.20
K 23.28 36.80 24.50 23.00 22.28 19.80 18.04 17.70 16.95 16.30 16.06 15.66 15.32
Q 21.65 20.88 31.59 22.67 21.75 19.30 17.60 15.94 15.73 15.11 14.65 14.12 14.24
J 20.08 19.56 19.04 27.71 21.45 19.12 17.40 15.79 14.64 14.10 13.94 13.47 13.30
T 19.02 18.34 18.02 18.16 24.16 19.41 17.50 16.05 14.75 13.55 13.08 12.83 12.55
9 16.24 15.83 15.42 15.40 15.66 21.32 17.51 16.24 14.82 13.42 12.47 12.20 11.76
8 15.33 13.84 13.46 13.52 13.86 13.65 19.08 16.37 15.19 13.98 12.68 11.58 11.37
7 14.58 13.06 11.90 11.77 12.08 12.18 12.32 17.49 15.55 14.49 13.35 12.07 10.74
6 13.81 12.53 11.25 10.39 10.70 10.69 11.41 11.81 16.01 15.12 13.89 12.52 11.32
5 14.39 12.12 10.97 10.04 9.27 9.37 10.00 10.58 11.16 14.89 14.81 13.37 12.21
4 13.90 11.79 10.33 9.42 8.76 8.25 8.63 9.23 9.89 10.65 13.75 12.89 11.84
3 13.66 11.28 10.08 9.23 8.66 7.78 7.29 8.00 8.59 9.49 8.87 13.34 11.48
2 13.08 10.91 9.73 8.96 8.27 7.54 7.15 6.60 7.37 8.27 7.97 7.28 12.76
vs 7 A K Q J T 9 8 7 6 5 4 3 2
A 38.04 24.32 22.53 21.38 20.27 18.11 17.23 16.64 16.30 16.66 16.59 15.98 15.77
K 20.58 32.00 21.96 20.70 19.77 17.65 16.05 15.52 14.77 14.58 14.05 13.87 13.79
Q 18.86 18.24 27.05 20.38 19.25 17.01 15.52 14.18 13.69 13.48 13.04 12.94 12.57
J 17.45 16.80 16.63 23.53 19.14 17.07 15.38 13.97 13.02 12.63 12.38 11.94 11.79
T 16.24 16.04 15.68 15.83 20.45 17.22 15.84 14.22 13.10 11.96 11.68 11.38 11.25
9 13.76 13.24 13.00 13.12 13.64 18.16 15.66 14.27 13.20 12.05 11.02 10.69 10.44
8 12.92 11.65 11.31 11.42 11.99 11.85 16.44 14.77 13.72 12.59 11.49 10.37 10.15
7 12.23 11.17 9.93 10.13 10.39 10.53 10.89 15.09 14.08 13.00 11.86 10.93 9.64
6 11.65 10.52 9.49 8.54 9.05 9.17 9.78 10.32 13.94 13.44 12.49 11.49 10.40
5 12.29 10.00 9.05 8.43 7.89 8.04 8.57 9.18 9.89 12.91 13.12 12.43 11.29
4 12.06 9.81 8.78 8.07 7.54 6.85 7.20 7.90 8.75 9.52 12.36 11.66 10.63
3 11.66 9.69 8.47 7.71 7.20 6.46 6.27 6.55 7.40 8.50 7.69 12.15 10.39
2 11.03 9.26 8.20 7.49 7.04 6.31 6.05 5.72 6.34 7.24 6.84 6.58 11.56
Vztah mezi pot-odds, EV a dlouhodobým ziskem

Vztah mezi pot-odds, EV a dlouhodobým ziskem

V předchozích článcích jsem se věnoval tomu, jak vypočítat a správně určit výši sázky, co je to expectation value a jak správně s těmito údaji zacházet. Dnes bych chtěl uvést pár dalších příkladů EV a ukázat, jak bychom měli změnit strategii hry v okamžiku, kdy máme více než 50% šanci na výhru.

Rozdělení her podle výše pravděpodobnosti výhry

Tak jako ve všech článcích, i zde budu pracovat s absolutními čísly a pravděpodobnostmi. V reálné hře si však nikdy nebudeme 100% jisti jaké karty náš spoluhráč či spoluhráči zrovna drži. Konkrétní použití pak již záleží na míře přesnosti našich odhadů a schopnosti čtení protihráčů.

Naše šance jsou nižší než 50%

Mezi tyto sitace lze zařadit například hraní flush-draw 18%/36% nebo straight-draw 16%/32%. Případně hry, kdy si nejsme jisti přesně sílou karet protihráče a domníváme se, že naše šance jsou nižší než 50%. V těchto případech hrajeme tak, jak jsem psal již v minulých článcích. Pomocí villain tabulky si zjistíme koeficient potu odpovídající naší pravděpodobnosti, po vynásobení potu tímto koeficientem pak máme maximální výši naší sázky či dorovnání takové, abychom dlouhodobě nebyli ve ztrátě.

Nyní převedeme výše zmíněné pravidlo do praxe a ukážeme si, jak vypadá taková EV tabulka v případě, že máme 20% šanci na výhru a 80% na prohru. Podle villain tabulky víme, že 20% šanci na výhru odpovídá koeficient 0.333x. Jak bylo již řečeno úvodem, tento koeficient nám určuje maximální výši sázky, nikoli optimální. Zkusme si tedy ukázat několik různých situací, kdy vždy ve stejné situaci zvolíme pokaždé jinou výši raise.

Hodnoty v následující tabulce reprezentují násobky výchozího potu. Pokud je tedy uvedeno například sázka 0.22x a zisk 1.22x, znamená to, že v případě potu $100 sázíme $22 a vyhrát můžeme $122 ($100 pot + $22 dorovnání soupeře). Stejně jako i v minulých článcích budeme ukazovat situaci s jedním protihráčem.

Nyní bych rád rozepsal několik důležitých věcí, které z tabulek můžeme vyčíst. Zaprvé, při sázce 0,33x násobku potu skutečně neproděláváme, ale také nevyděláváme. Nejedná se tedy o nijak výnosný bet. Dále se podíváme na situaci, kdy vyděláváme nejvíce. Paradoxně je to v situaci, kdy nevsadíme nic, ale přesto pot získáme. V tu chvílí neriskujeme jediný náš žeton a přitom jsme vydělali celý pot. To je z dlouhodobého hlediska nejvýnosnější styl hry. Třetí část pak ukazuje, jak zbytečně zvyšující se sázky převyšující možnosti našich karet zbytečně proděláváme více a více.

Na základě těchto tabulek lze tedy říci, že aby naše hra byla co nejvíce zisková, je potřeba hrát nikoli na maximum villain koeficientů, ale ideálně na co nejméně. Pokud již je potřeba nějaké sázky dělat, tak jen v nezbytně nutné výši za účelem vyhnání protihráče, případně na zjištění, jak na tom jsme. Nikoli však za účelem budování potu nebo zlepšování EV. Čím méně do potu v této situaci pošleme, tím více budeme ziskoví.

Naše šance jsou vyšší než 50%

Druhou skupinu herních situací tvoří ty hry, kdy jste více než 50% vítězem. To jsou situace, kdy držíte nejsilnější karty proti draw, máte nuts a podobně. V tuto chvíli je potřeba změnit herní strategii. Prvním důvodem popsaným v jednom z dřívějších článků je situace, kdy protiháč má nějakou draw. Je potřeba mu nastavit takové pot-odds, aby se mu dorovnání nevyplatilo. Druhým důvodem je pak budování co největšího potu, aby vaše výhra a tím pádem také EV bylo co nejvyšší.

Ukažme si nyní opět sérii tabulek, tentokrát však pro situaci, kdy naše šance na výhru je 80%, zatímco na prohru pouze 20%.

Jak jde vidět, v této situaci již není potřeba zohledňovat naši pravděpodobnost na výhru. Jakmile překročíme hranici 50%, stává se naše hra zisková bez ohledu na výši sázky. V tuto chvílí je tak naším největším problémem, jak dostat do hry z protihráčů co nejvíce chipů.

Naše šance jsou přesně 50%

Tato situace nastane v reálu asi velmi málo a ještě mnohem méně často si budete vědomi, že je to zrovna přesně tato situace. Ačkoli ji při běžné hře není potřeba nijak zohledňovat, rád bych ji zde ukázal z jiného důvodu. Je na ní totiž krásně vidět, proč a jak je potřeba měnit styl hry v případech, kdy máte šance nižší než 50%, a v situacích kdy jste z více než 50% vítězové.

Jak můžeme v tabulkách vidět, pokud je šance na výhru 50:50, je úplně jedno, kolik vsadíte, vždy budete dlouhodobě vydělávat. Důvodem je, že ať vsadíte jakoukoli částku, jednou ze dvou her ji prohrajete, a jednou ze dvou her vyhrajete. Tím pádem vaše sázky budou mít vždy EV0, a k tomu jednou ze dvou her vyhrajete pot, tudíž EV+.

Shrnutí

V předchozích třech bodech jsem se snažil ukázat změnu a vývoj EV v situacích, kdy máte 20:80 šance na výhru a prohru. Nyní bych chtěl ještě ukázat, jak je to se změnou EV v závislosti na šanci na výhru. Následující tabulka ukazuje výsledné EV při daných šancích na výhru a výše sázky jakožto násobku potu:

A k tabulce ještě graf, znázorňující vývoj těchto hodnot:

Jak jde z tabulky i grafu vidět, je to asi tak, jak jsme očekávali. Čím vyšší máte pravděpodobnost na výhru, tím vyšší je i vaše EV. V případech, kdy šance na výhru klesnou pod 50%, je potřeba sázet dle villain tabulky, abychom nepřekročili maximální možnou neprodělečnou částku.

Dodatek

V případě hry proti více hráčům je naše EV lepší. Zde jsou tabulky EV při hře proti dvěma, třem a pěti protihráčům. Jak z nich lze vidět, hra je v případě více hráčů více zisková, avšak je potřeba zohlednit také riziko, že při více hráčích je vyšší šance, že nás někdo porazí. Ovšem při hře s nuts nebo velmi silnými kombinacemi je několikanásobně výnosnější hrát s více hráči.

Z toho také vyplývá, že pokud držíte v danou chvíli na ruce nuts (nejlepší možné karty v dané hře), je lepší volit nižší sázky do více hráčů, než zbytečně protihráče ze hry vyhánět. Je to logické, ale tady máte důkaz, že to tak skutečně je ;-).

Expectation value

Expectation value

Další z velmi užitečných pomůcek při výpočtu pravděpodobností a velkostí sázek je ukazatel EV – Expectation Value (očekávaná hodnota). Hodnota EV vyjadřuje průměrnou částku, jakou můžete očekávat při výhře nebo prohře dané sázky (v případě pokeru dané handy).

Jak EV určit

Abychom mohli EV učit, musíme nejprve vyčíslit pravděpodobnost výhry a prohry. Dejme tomu hod kostkou, chceme se vsadit, že nám padne šestka. Pravděpodobnost, že šestka padne je 1/6, že nepadne 5/6. Dále na určení EV musíme vědět, kolik v dané sázce vyhrajeme, případně prohrajeme. Dejme tomu, že nám někdo nabídne, že nám dá $10, když šestka padne, a $2 dáme my jemu, když šestka nepadne.

Tím máme veškeré potřebné informace. Abychom určili očekávanou hodnotu sázky, jednoduše vynásobíme možný zisk pravděpodobností výhry a případnou ztrátu pravděpodobností prohry a tyto dva výsledky sečteme. Dostaneme tedy následující tabulku:

Situace Pravděpodobnost Zisk/Ztráta Pravděp. * částka
Výhra 1/6 = 16.66% $10 $10 * 16.66% $1.66
Prohra 5/6 = 83.33% -$2 -$2 * 83.33% -$1.66

A co jsme tedy zjistili? EV je v tomto případě rovna 0. To znamená, že sázka není ani prodělečná, ani výdělečná. Pokud budeme sázet dostatečně dlouho, budeme stále na nule. Této očekávané hodnotě sázky se říká neutrální EV.

Pokud bychom náš příklad upravili tak, že v případě výhry dostaneme $12 a v případě prohry stále $2, vypadalo by to následovně.

Situace Pravděpodobnost Zisk/Ztráta Pravděp. * částka
Výhra 1/6 = 16.66% $12 $12 * 16.66% $2.00
Prohra 5/6 = 83.33% -$2 -$2 * 83.33% -$1.66

V tuto chvíli je pro nás sázka velmi lákavá. Očekávaná hodnota sázky je vyšší než 0. Pokud budeme tedy opakovat hru několikrát, budeme postupně vydělávat. Tato očekávaná hodnota se značí jako kladná nebo pozitivní EV, neboli +EV.

Na poslední tabulce si ukážeme, jak by to vypadalo, kdybychom v případě hodu šestky dostali jen $6.

Situace Pravděpodobnost Zisk/Ztráta Pravděp. * částka EV
Výhra 1/6 = 16.66% $6 $6 * 16.66% $1.00
Prohra 5/6 = 83.33% -$2 -$2 * 83.33% -$1.66

Zde vidíme, jak vypadá záporné EV, značeno -EV. Pokud tedy přistoupíme na tuto sázku, budeme v dlouhodobém měřítku prodělávat.

Aplikace v praxi

Nyní již víme, co je to EV a jak ji vypočítat pro hod kostkou. Na následujícím příkladu si ukážeme, jak využít EV pro určení, zda naše sázky v pokeru jsou výdělečné nebo prodělečné.

Příklad: Jsme na turnu, držíme AsKs a na stole leží 8s5sJd2h. Jsme první, kdo se vyjadřuje, v potu je $100. Pro zjednodušení budeme brát situaci, kdy flush pro nás znamená výhru, bez flushe prohru. Tudíž naše šance jsou 18%  na výhru (9 outs x 2) a a 82% na prohru.

A nyní si ukažme tabulku, jak na tom budeme, když vsadíme $10, $22, $28 a $40 ($22 dle tabulky Hero, $28 dle tabulky Villain).

Pokud vsadíme částku uvedenou v prvním sloupečku následující tabulky a vyhrajeme, získáme pot + dorovnanou sázku od protihráče (pokud protihráč karty složí, vyhráli jsme rovnou). Pokud prohrajeme, přijdeme o náš raise uvedený ve třetím sloupečku. Další dva sloupečky ukazují hodnoty pro případnou prohru a výhru. Poslední sloupeček ukazuje kdy je sázka provedena správně, tedy je +EV, kdy špatně -EV a kdy je sázka neutrální.

Sázka Zisk Ztráta Výhra Prohra EV
$10 $100+$10 -$10 $110 * 18% = $19.80 -$10 * 82% = -$8.2 +EV
$22 $100+$22 -$22 $122 * 18% = $21.96 -$22 * 82% = -$18.04 +EV
$28 $100+$28 -$28 $128 * 18% = $23.04 -$28 * 82% = -$22.96 EV0
$40 $100+$40 -$40 $140 * 18% = $25.20 -$40 * 82% = -$32.80 -EV

Jak jde vidět, když vsadíme nízkých $10, je +EV jelikož v případě prohry prohrajeme malou částku. Pokud vsadíme dle tabulky Hero, stále je sázka velmi bezpečná a dlouhodobě budeme vydělávat. Pokud vsadíme dle tabulky Villain, je sázka dlouhodobě neutrální (~$23). To znamená, že ani nevyděláme, ani neproděláme. Jedná se tedy o maximální možnou částku, kterou můžeme vsadit. Pokud vsadíme více než předchozí hodnoty, jsou naše sázky vyšší než možná výhra a dlouhodobě budeme prohrávat.

Závěr

V dnešním článku jsem se snažil ukázat další z možných přístupů k otestování vlastních sázek a jejich dlouhodobé ziskovosti. Jak jde vidět, vsázet vždy maximum pomocí Villain není úplně rozumné, jelikož dlouhodobě sice neproděláme, ale ani nevyděláme. Je proto dobré použít různé výše sázek pro různé situace (vyhnání hráče, motivování hráče ke hře, …).

V dalším článku pak ukáži aplikování výpočtu EV na předchozí Hero a Villain pot odds tabulky a jejich využití v různých situacích hry.

Raise/Bet na protihráče, část druhá

Raise/Bet na protihráče, část druhá

Úvod

Před nějakou dobou jsem popisoval, jak pomocí matematiky určit raise na protihráče. Když jsem tenkrát zkoušel nějaký matematický model na bet/raise vymyslet, bylo to zhruba po měsíci studia a zkoušení pokeru. Dnes jsem zhruba o měsíc dál, o nějakou tu knihu dále (*) a celá moje teorie je zas o něco přesnější a rozšířenější.

Dnes se tu pokusím popsat způsob, jakým momentálně určuji minimální a maximální částky pro bet/raise ve hrách. Předpokládám, že po nějakém čase to zase vylepším, ale teď je to to nejlepší, co mám ;-).

Shrnutí předchozích poznatků

Výsledkem původního článku byla tabulka, kde na jedné straně byly koeficienty, kterými je nutné vynásobit pot, a na straně druhé procenta, jakým bude čelit náš protihráč. Původně jsem výslednou tabulku bral jako konečné, univerzální řešení na určování částek. Tak jednoduché to ale bohužel není.

Výsledná tabulka z původního článku vypadala takto (**):


Vzoreček, který tuto tabulku reprezentuje je .

Jak jde vidět ze vzorečku, při výpočtu počítáme nejen s naší sázkou, ale rovněž s jejím dorovnáním ze strany protihráče (proto ten dvojnásobek). Během práce na této tabulce jsem tenkrát měl ještě jednu, kterou jsem zpočátku považoval za zbytečnou. Tato tabulka je však druhou částí do skládanky správného určení raise.

Tabulka pro výpočet našich pot odds

Výpočet této druhé tabulky je velmi podobný té předchozí. Jediné, co se změní, je fakt, že pracujeme jen s naší vsazenou částkou bez ohledu na protihráče. Tabulka je tedy tvořena tímto vzorečkem .

Způsob použití tabulky je stejný jako u tabulky první. Rozdíl je v tom, že nyní dostaneme pot-odds, které budeme mít po vsazení dané částky my bez ohledu na protihráče. Pokud tedy například chceme mít pot-odds 50%, vsadíme jednou tolik co je v potu (logické že 😉 ).

Způsob využití tabulek

Nyní máme zadefinované dvě tabulky pomáhající nám určit, jak vsadit. Nyní ukážu, jak je používám v jednotlivých situacích, které mohou nastat. V současnosti rozlišuji následující typy situací a podle nich volím dané koeficienty:

  1. Nikdo přede mnou nevsadil a zatím nemám představu, co ostatní protihráči mají.
  2. Nikdo přede mnou nevsadil, mám představu, co protihráči mají, a chci, aby hráli dál.
  3. Nikdo přede mnou nevsadil, mám představu, co protihráči mají, a chci je dostat ze hry.
  4. Přede mnou bylo již vsazeno a já chci udělat raise.

Před každým rozhodnutím je potřeba spočítat si outs a určit, jaká je pravděpodobnost na výhru dané hry. S touto pravděpodobností poté porovnáváme výsledný poměr banku získaný z jedné ze dvou tabulek.

Nikdo nevsadil a netuším, co mají.

V této situaci si nemohu být jistý, že moje předpokládaná šance na výhru je 100% správná. Pokud budu chtít hrát opatrně a ziskově, určím maximální výši mé sázky pomocí nově představené tabulky Hero pot odds a její velikost se bude rovnat pot x koeficient odpovídající pravděpodobnosti mé výhry. Zároveň ale mohu na určení své sázky použít i Villain pot odds tabulku. V tu chvíli bude výše mé sázky vyšší (i riziko případné ztráty) než v prvním případu, ale stále je sázka z dlouhodobého pohledu neztrátová. Opatrnější metodu používám v okamžiku, kdy o protihráčích ještě nic nevím, jsem na předních pozicích nebo chci maximalizovat zisk. Agresivnější pak v situacích, kdy chci ze hry vyhnat více lidí či působit více aggressive.

Nikdo nevsadil, mám představu, co mají, a chci, aby hráli dál.

V této situaci zvolím hodnotu, která bude v rozmezí hodnot z tabulku Hero pot odds a původní Villain pot odds tabulky. Na základě předpokladu protihráčových karet zvolím koeficient takový, abych mu jeho dorovnání udělal lákavé. Zároveň na sázce neprodělám, jelikož mám vyšší šanci na výhru, než on (případy, kdy on dorovná a prohraje, spolu s případy, kdy složí, jsou výdělečné oproti případům, kdy po jeho dorovnání hru vyhraje).

Nikdo nevsadil, mám představu, co mají, a nechci, aby hráli dál.

Způsob hry je podobný předchozí situaci. Tentokrát využiji  Villain pot odds tabulku. Rozdíl je v tom, že cílové navýšení zvolím tak, aby se soupeřovi dorovnání nevyplatilo, a tím ho ze hry vyženu. Pokud i tak dorovná, udělal chybu, která ho v dlouhodobém měřítku bude stát chipy, navíc mně se sázka z dlouhodobého pohledu stále vyplatila (případy, kdy dorovná a já vyhraji, plus případy kdy položí a já získám žetony).

Přede mnou již bylo vsazeno a já chci udělat raise.

V případě, že musím nejprve dorovnat, abych mohl dále sázet, využívám tabulku Hero pot odds, bez ohledu na to, jestli znám/neznám protihráčovy karty. Výjimkou je situace, kdy se chci pokusit někoho vyhnat ze hry a zároveň jsem si velmi jist svou kombinací. Pak využiji tabulku Villain pot odds. Důvod, proč využiji tabulku Hero místo Villain, je, že žádný z výpočtů ani v jedné tabulce nezohledňuje částku mého callu. Tím, že použiji tabulku Hero, která nepočítá s callem protihráče, alespoň zhruba rozmělním svůj call předchozího soupeřova navýšení (to, co mne stál call jeho sázky, bude následně pokryto dorovnáním mé sázky protihráčem). Konkrétně viz příklad níže.

Příklady použití

Příklad k BODU 1

Jsem ve hře na turnu. Mám flash draw, netuším, co mají protihráči, ani jak hrají. Chci udělat raise tak, abych navýšil pot a zároveň byl rais neprodělečný. Šance na flush je opět 18%, nic jiného v ruce nemám. Volím tedy dle tabulky Hero pot odds něco mezi 15% a 20%, tedy 0.2x násobek.

PŘÍKLAD K BODU 2

Další hra, jsem opět na turnu, mám dvojici a esové flash draw. U protihráče rovněž předpokládám flush draw, ale samozřejmě nižší. V tuto chvíli jsem vítězem a chci protihráče motivovat do banku vsadit co nejvíce peněz. On má na mne pozici, takže se ještě nevyjadřoval.

Šance protihráče na flush jsou 18% (9 outs x 2). Zvolím proto z tabulky Villain pot odds poměr 15%, abych mu jeho dorovnání nastavil výhodné. Dle tabulky tedy vsázím cca 0.25x násobek potu.

Příklad k bodu 3

Jiná hra, jsem opět na turnu, mám dvě dvojice a u protihráče předpokládám flush draw. V tuto chvíli jsem vítězem, pokud protihráč flush na riveru nedostane. On má na mne pozici, takže se ještě nevyjadřoval. Moje aktuální kombinace ho poráží a krom flush jsem vítězem.

Šance protihráče jsou 18%, že mu flush přijde (9 outs x 2). Zvolím proto z tabulky Villain pot odds poměr 25%, abych mu jeho dorovnání nastavil nevýhodné. Dle tabulky tedy vsázím 0.5x násobek potu.

PŘÍKLAD K BODU 4

V potu je $100, protihráč bet $30. Mám dobré karty a chci dát re-raise. Call mne stojí $30. V tuto chvíli použiji Hero tabulku namísto Villain. Mám flush draw na flopu, tudíž 36% (9 outs*4).  Pokud bych již nečelil betu, použil bych dle Villain tabulky koeficient 1.29x. Jelikož ale musím ještě dorovnat předchozí sázku, použiji jen Hero, tudíž 0.56x. Tímto krokem pokryje protihráčův call mého navýšení můj původní call protihráče ($160*0.56=$89 oproti $30 call). Díky tomu budou mé sázky dlouhodobě plusové.

Shrnutí

Nově představená tabulka nám pomáhá určit, jaké množství žetonů vsadit tak, aby byla hra dlouhodobě neprodělečná. Původní Villain tabulka nám naopak říká, jak vsázet tak, abychom protihráče udrželi nebo naopak se jich zbavili.

Každé z těchto čísel je potřeba dále zvážit a zohlednit i další okolnosti dané situace. Pokud je ve hře více hráčů, všechny naše bet / raise se v případě následného call protihráčů stávají výdělečnějšími.

Více o tom kdy a jak použít Hero nebo Villain tabulky rozepíšu v dalších dvou článcích o Expectation value a aplikaci Expectation value na tyto dvě tabulky.

To, co je zde popsané, je můj aktuální způsob, jak se snažím v každém kroku ve hře rozhodnout, zda a jak pokračovat. Je možné (a nejspíš i pravděpodobné), že časem tento postup ještě dále upravím či rozšířím. Stále si připadám (a samozřejmě také jsem) na začátku daleké výpravy ;-).

Nevýhody představeného řešení

  • Spousta lidí (hlavně na začátku turnaje) si tato čísla nespočítá, takže musíte hodnotu sázky nastavit o něco více, aby je částka v případě potřeby zastrašila.
  • Je potřeba si pamatovat alespoň základní koeficienty 25%,33%,40%,50% pro obě tabulky.
  • Ne vždy lze se 100% jistotou určit co protihráči mají za karty a pak je celá matematika beztak jen odhad 😉

Výhody popsaného řešení

  • Opět o něco přesnější a snazší rozhodování v různých situacích.
  • Dlouhodobě méně zbytečně investovaných chipů.
  • Díky těmto dvěma tabulkám lze vyhodnocovat i kroky protihráčů vůči vám, o tom více  někdy příště.

Poznámky

  • (*) Momentálně pročítáme knihu od Owena Gainese – Poker Math That Matters. Tuto knihu určitě doporučuji všem, kdo se o Pokerovou matematiku alespoň trochu zajímá.
  • (**) Jak pročítáme více a více literatury, zjišťujeme i ustálené fráze. Proto v tabulkách protihráči už nebudou Enemy, ale Villain (***) a my nebudeme PLR ale Hero.
  • (***) Pojem Villain je z knihy od Owena Gainese (* 😉 ).

Přílohy

Během toho, co jsem na těchto tabulkách pracoval a ověřoval si, že jsou správně, vypočítal jsem i poměrně zajímavé hodnoty.

Tabulka a GRAF koeficientů vůči procentům HERO a VILLAIN

Tabulka a graf procent vůči koeficientům Hero a Villain

Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA – část druhá

Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA – část druhá

Nyní bych rád pokračoval v hledání odpovědi na triviálně vypadající otázku z nadpisu. Ti z Vás, kdo četli předchozí článek “Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA” už znají tři postupy, jak toto číslo správně nepočítat ;-). A nyní by se asi slušelo ukázat, jak správně na to.

Nejprve odpověď na otázku položenou na konci minulého článku, kde udělali soudruzi chybu. Nejdřív ale, co bylo správně. Správně jsme určili pravděpodobnost jednotlivých jevů, kdy nepřijde žádné, jedno, dvě, tři, nebo čtyři esa. Dobře byla i úvaha s variantami, které mohou nastat. Co ovšem bylo špatně, byla četnost těchto variant. Proto to celé ve výsledku nesedělo.

Jak jsem se dostal ke správnému výsledku

Když mi výpočet z minulého článku nevycházel, zkusil jsem na to jít odjinud. Jako první jsem si položil otázku, kolik vlastně celkem existuje možných kombinací rozložení es. Podle toho, co jsem měl spočítáno z minula, to vypadalo na nějakých 18 kombinací, kdy nikdo nemá dvě esa, a 34, že někdo dvě esa má. Zkusil jsem si tedy spočítat, kolik jich je dohromady.

Takto vypadá stůl před flopem pro 4 lidi:

1)?? 2)?? 3)?? 4)??

Máme 4 esa, která se mezi hráče mohou rozdat všechna, nebo jen tři, dvě, jedno, či žádné. Takže matematická úloha zní: kolika způsoby lze vybrat z osmi karetních pozic čtyři/tři/dvě/jednu/žádnou pozici pro eso. Zapsáno matematicky:

Takže 163, to je o dost více než předpokládaných 16 + 34. Kde je problém? Problém je, že eso můžeme jednomu hráči dát jako první A? a nebo jako druhou kartu?A. A to je to, co jsme minule nezohlednili. Takže nyní již víme, že máme 163 možných kombinací. Teď je potřeba rozdělit tento počet mezi ty, co znamenají dvě esa pro některého hráče, a ty, co znamenají maximálně jedno eso.

Nejprve kombinace, kdy nikdo nemá dvě esa

?? , ?? , ?? , ?? – žádné eso ve hře
A? , ?? , ?? , ?? – jedno eso ve hře
A? , A? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
A? , A? , A? , ?? – tři eso ve hře
A? , A? , A? , A? – čtyři esa ve hře

A teď kombinace, kdy alespoň jeden člověk dvě esa má
AA , ?? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
AA , A? , ?? , ?? – tři esa ve hře
AA , A? , A? , ?? – čtyři esa ve hře
AA , AA , ?? , ?? – čtyři esa ve hře

Teď musíme určit, kolika způsoby lze výše uvedené kombinace sestavit.

Kombinace, kdy nikdo z hráčů nemá dvě esa
?? , ?? , ?? , ??
Vybíráme z osmi přihrádek žádnou. To lze udělat jen jedním možným způsobem.

A? , ?? , ?? , ?? .
Vybíráme z osmi přihrádek jednu, do které eso umístíme.

A? , A? , ?? , ??
Tady to již začíná být trochu komplikované. Nejprve spočítáme, kolika způsoby lze rozdělit 2 karty mezi 8 přihrádek. Pak od tohoto musíme odečíst případy, kdy jsou dvě esa u jednoho člověka.

A? , A? , A? , ??
A při třech esech je to ještě trošku složitější. Stejně jako v předchozím nejprve spočítáme všechna rozložení tři es mezi osm pozic. Pak ale odečteme ty případy, kdy má někdo esa dvě. Dvě esa jakou v předchozím případu může mít jen jeden ze 4 lidí, k tomu ale musíme do zbývajících šesti pozic umístit jedno zbývající eso.

AA , AA , ?? , ??
Postup opět stejný jako v předchozích dvou krocích. Všechny kombinace mínus ty, kde jsou dvě esa. To nyní znamená jeden člověk a do zbývajících šesti přihrádkách rozdělíme 2 zbývající esa.

Tím máme vyjádřené počty možností pro situace, kdy eso nikdo nemá. Pro vypočítání výsledku by nám to za normální situace již stačilo. Ja však budu pokračovat i s případy, kdy dvě esa někdo dostane. A to proto, abych pak mohl součtem ověřit, že dostanu jak oněch požadovaných 163 kombinací, tak že mi výsledná pravděpodobnost vyjde 100%.

Kombinace, kdy alespoň jeden z hráčů má dvě esa
AA , ?? , ?? , ??
Jednoduchá situace, kdy dáváme pár es mezi čtyři lidi.

AA , A? , ?? , ??
Dáme pár es jednomu že čtyř lidí a třetí eso dáme do jedné ze šesti volných pozic.

AA , A? , A? , ??
AA , AA , ?? , ??
Tyto dvě kombinace můžeme počítat dohromady. Nejprve dáme pár es jednomu ze čtyř lidí a pak rozdělíme zbylá dvě esa mezi šest přihrádek.

Nyní je pro ověření sečteme. Dostáváme tedy . Vypadá to tedy, že už jdeme skutečně správnou cestou 😉

Jak si můžete všimnout, vyjádřit kombinace, kdy někdo esa má je mnohem snazší než matematicky popsat situaci, kdy esa nikdo nemá. Když jsem se v původním článku snažil tuto pravděpodobnost vypočítat, předpokládal jsem, že to bude přesně naopak a výpočet vedl právě přes vyčíslování situace, kdy esa nepřijdou. Občas je dobré zkusit si rozepsat situace obě, aby člověk viděl, kudy je to snazší, a hlavě aby si mohl ověřit, že po sečtení obou částí vyjde 100% celek.

Pravděpodobnost jednotlivých kombinací

Když už máme rozložení jednotlivých jevů, potřebujeme pravděpodobnost těchto jevů. Tu jsme si spočítali již v minulém článku a ta byla určená správně. Zde jen pro zopakování shrnu (opět předpokládáme, že karty počítáme pro 4 protihráče a svoje již známe).

Máme tedy 5 možných situací:

– žádné eso
– jedno eso
– dvě esa
– tři esa
– čtyři esa

Nyní vynásobíme pravděpodobnosti jednotlivých situací s počtem možných kombinací dané situace. Zde je tabulka s roznásobením:

Sloupečky 0A-4A znamenají počet es, které jsou ve hře. První dva řádky tabulky jsou horní/dolní část kombinatorického čísla, třetí je pak hodnota tohoto čísla. Další tři rádky jsou pak počty kombinací, které lze z daného počtu es sestavit tak, aby nikdo neměl dvě esa, měl dvě esa a celkem. Poslední tři řádky jsou pak vynásobení počtu variant počtem kombinací.

V pravé části jsou pak součty hodnot z levé části tabulky. Pro kontrolu tedy vidíme, že je 75 kombinací, kdy nikdo dvě esa nemá, 88 že esa má a 163 celkem. A nakonec zeleně je zvýrazněn výsledek naší úlohy. Pravděpodobnost, že někdo má dvě esa při hře čtyř hráčů, je 1,96%.

Závěr

Jak jde vidět, spočítat pravděpodobnost pro čtyři lidi pro dvě esa už není žádná legrace. Na začátku minulého článku jsem slíbil, že ukážu jak je to s pravděpodobností v devíti lidech. Nakonec si to nechám ještě do dalšího článku, jelikož i tento je již dlouhý dost. Co se týče přidání více kombinací než es, složitost příkladu by neúměrně stoupla. Pokud bychom přidali ještě dva krále, bylo by potřeba pro každého člověka zohlednit, kdy nedostal ani eso, ani krále, kdy dostal jen eso, kdy dostal jen krále a kdy dostal obojí.

Jelikož ale i mne samotného zajímá, jak by to bylo s rostoucím počtem lidí a možných kombinací, další článek při variabilním počtu lidí a kombinací karet zkusím vyčíslit pomocí metody Monte Carlo. Na to již bude potřeba trochu výpočetní síly a trocha programování. Na druhou stranu tím půjde dělat řada dalších zajímavých srovnání. O tom ale zase až příště.

Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA

Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA

Jak se s postupujícím časem více a více prokousáváme knížkou od Dana Harringtona: Harrington on Holdem, napadá nás stále více otázek typu: jaká je pravděpodobnost, že jeden či více lidí má to a to. Jelikož jsem měl dneska trochu času, zkusili jsme spočítat, jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží dvě AA. To co vypadalo ze začátku jen jako další triviální úloha se zvrtla v matematické peklo :-), ale pěkně popořadě.

Zadání úlohy

Zadání dnešní úlohy tedy zní: Před flopem je n-hráčů. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich drží v ruce dvě esa.

Postup řešení

Jelikož již celková úvaha toho jak vše počítat není úplně triviální, rozhodl jsem se zahrnout do postupu i dva tři špatné pokusy, které výpočtu předcházely. Pokud někoho zajímá jen správný postup, přeskočte prosím až na “Úvaha třetí” další článek Jaká je pravděpodobnost, že někdo drží AA – část druhá. Pro ty, které zajímá jak se co počítá však doporučuji i chybné dvě tři předchozí, jde z nich krásně vidět, jak i drobné slovíčkaření nebo chybný předpoklad ovlivňuje výsledný výpočet.

Úvaha první – nesprávná

Když jsme začali s výpočtem, vycházeli jsme (mylně) z představy, že jen rozšíříme postup pro výpočet, kdy člověku nepřijde ani jedno eso. Tzn. vzoreček jsme rozšířili pokusně na 4 lidi, takže jsme měli: .
Když hodnoty vypočítáme, dostaneme následující výsledek:

Když se podíváme na pravděpodobnost u 4tého hráče, je jasné, že je něco špatně. Téměř 50% že nebude, respektive bude mít jeden ze čtyř hráčů dvě esa je nesmyslná. Takže v čem je chyba?

Problém byl v úvaze. Pokud chceme zjistit, zda někomu přišly dvě esa, tak opak od toho není, že někomu dvě esa nepřišly. Opak jevu “někomu dvě esa přišly” je totiž “každý z hráčů dostal nula nebo jedno eso”.

A co jsme tedy touto tabulkou spočítali? Jiné, také zajímavé číslo. Určili jsme, jaká je pravděpodobnost, že žádnému z hráčů nepřišlo ani jedno eso. A tím pádem také pravděpodobnost jevu opačného, což je “minimálně jednomu z hráčů přišlo minimálně jedno eso”. Takže jak vidíme, při čtyřech hráčích už je 50% šance, že někdo eso má.

Úvaha druhá – opět špatně

Když nevyšel pokus s “nikdo nedostane A”, zkusili jsme o něco složitější postup. Zkusili jsme si požadovaný výsledný jev rozepsat. Ten by mohl vypadat asi takto:

( hráč1 AA ) nebo ( hráč2 AA ) nebo …

jelikož je mezi jevy operátor “nebo”, bude potřeba počítat jevy opačné, tzn. jevy nepřijde hráči jedna, nepřijde hráči dva, atd. Takže jsme si vzoreček přepsali z:

na vzoreček

Bohužel, jak jsem již avizoval nadpisem, ani tento postup není správný. Ale i tato chyba je poměrně důležitá, proto jsem se ji rozhodl zde popsat. Celkově je úvaha v pořádku. Snažíme se vyčíslit jaká je pravděpodobnost, že esa přijdou prvnímu hráči, druhému, třetímu, nebo čtvrtému. Pro prvního hráče je výpočet v pořádku. Porovnáme počet kombinací, jak zvolit ze čtyř es dvě, ku kombinacím vybrání dvou karet ze všech ostatních.

Jenže u druhého hráče se dostáváme do problému. Podle toho co jsme napsali, tak počítáme pravděpodobnost, že hráč zvolí dvě karty ze čtyř es, ku kombinaci zbývajících karet v balíčku. Jenže to je ten problém. První hráč totiž mohl zvolit kombinaci AK. Tato kombinace je v pořádku z pohledu toho, že první hráč nemá esa. Bohužel ale na druhého hráče tím pádem již zbývají esa jen tři a ne čtyři. Proto je vzoreček špatně. Na pátého hráče totiž už nemusí zbývat ani jedno eso, a nebo na něj mohou zbývat esa pořád všechna čtyři.

To co jsme zde vyčíslili je pravděpodobnost, že si každý z hráčů ze zbývajícího baličku nevytáhne dvě ze čtyř karet, které v balíčku ještě jsou.

Úvaha třetí – jak jsem si myslel, že už vím, jak na to

Původní nadpis této kapitoly byl “Jak na to”. Po tom, co jsem během počítání zároveň psal i tento odstavec, byl jsem si naprosto jist, že to tak je správně. Bohužel až do samého konce, kdy vyšel nesmysl. Celou tuto kapitolu ponechávám v původním znění, kdy to vypadá jako jasný tah na branku. Až ji dočtete, schválně jestli přijdete na to, proč to nevyšlo. Já kvůli tomu včera nemohl usnout a až po dvou hodinách na to přišel ;-),

Pokud jste si pročetli předchozí dvě úvahy, je Vám jasné že snadno to nepůjde. Nejprve ukážu způsob výpočtu pro čtyři lidi, který poté zobecním a zjednoduším pro výpočet pro neomezený počet lidí.

Pokud máme zjistit, že někdo ze čtyř lidí dostal dvě esa, bude potřeba poprat se s následujicími možnostmi: nikdo nedostal eso, jeden až čtyři lidé dostali jedno eso, jeden člověk dostal dvě esa a zbytek mohl dostat 0 až dvě zbývající, každý maximálně jedno a dva lidé dostali dvě esa. Jak je vidět, kombinací je více než dost.

Pro zjednodušení, zde máme rozhodovací diagram pro všechny uvedené možnosti (jde jen o první třetinu tabulky, kdy první hráč nemá žádné eso):

Jak jde vidět, všech možných kombinací je spousty. Nyní je potřeba určit si, co a jak vlastně budeme počítat. Potřebujeme zjistit pravděpodobnost:

"dvě esa má první hráč" nebo "dvě esa má druhý hráč" nebo "dvě esa má třetí hráč" nebo "dvě esa má čtvrtý hráč".

Jak už bylo řečeno v několika předchozích článcích, spočítat pravděpodobnost “nebo” nelze u jevů, které nejsou izolované. Tudíž je potřeba výpočet převést na pravděpodobnost “a zároveň”. Ta zní následovně:

"první hráč nemá žádné nebo má jedno eso" a zároveň "druhý hráč nemá žádné nebo má jedno eso" a zároveň "třetí hráč nemá žádné nebo má jedno eso" a zároveň "čtvrtý hráč nemá žádné nebo má jedno eso"

Pokud tedy tento jev zvýrazníme do předchozí tabulky, získáme následující (zeleně jsou jevy co vyhovují, červeně ty co nevyhovují):

Celkově se nám tabulka dost proškrtala, takže když nyní necháme jen všechny ty, co vyhovují našemu jevu, získáme následující soupis:

V tabulce jsem rovnou přidal sloupeček, který ukazuje kolik es je ve hře. Ten je důležitý pro další výpočet. Pokud si tabulku shrneme dle počtu es ve hře, získáme:

1x žádné eso
4x jedno eso
6x dvě esa
4x tři esa
1x čtyři esa

Nyní již víme jaké možnosti mohou nastat a v jakém počtu. Stačí nám tedy vypočítat pravděpodobnost jednotlivých jevů, zohlednit jejich četnost a součtem všech získáme pravděpodobnost, že nikdo nedostal dvě esa. Doplněk je pak námi požadovaná hodnota, tj alespoň jeden dostal dvě esa.

Pravděpodobnost, že nikdo nedostal ani jedno eso

Tzn to co jsme původně v úvaze jedna považovali za výsledek 😉 )

Pravděpodobnost, že někomu přišlo jedno eso

Pravděpodobnost, že dvěma lidem přišlo jedno eso

Pravděpodobnost, že třem lidem přišlo jedno eso

Pravděpodobnost, že čtyřem lidem přišlo jedno eso

Tím bychom měli popsané všechny možné varianty a nyní zohledníme počet výskytů:

A tady mi začalo být jasné, že je něco špatně. 71% že nikdo dvě esa nedrží? Takže 30% že někdo ta esa má?? To asi nebude dobře a pokud ano, už nikdy nehraji s ničím jiným 😉

A nyní si položme otázku, kde udělali soudruzi chybu. Všechno vypadalo, že sedí. Popsali jsme všechny možné stavy, vypočítali pravděpodobnost těchto stavů, ale nevychází to. Když jsem stejným pokusem zkusil počítat z “druhé strany”, tzn. přes někdo má AA, došel jsem ke 2%. Kde je těch zbývajících 27%?

Jak jsem již avizoval na začátku tohoto odstavce, chvilku mi to trvalo než jsem na to přišel. Důvod a již opravdu správný výpočet ukážu v pokračování článku.

Jak určit výši raise na protihráče

Jak určit výši raise na protihráče

Nějakou dobu jsme přemýšleli nad tím, jak správně (matematicky) určit výši raise na protihráče. Celý článek bude brán opět jen zcela z pohledu matematiky, nikoli z pohledu umístění hráče, výše potů atd.

Bod první: dorovnání

První věc, se kterou se většinou musíme vypořádat je rozhodnutí, zda dorovnat či nikoli. To učíme jednoduše tak, že porovnáme pravděpodobnost našich karet proti poměru potu (o tom více zde). Zjednodušeně tedy máme následující rovnici

neboli

Pokud se tohoto pravidla řídíme, jsme dlouhodobě v plusu a vyděláváme 😉

Bod druhý: navýšení

Nyní již víme, kdy sázku dorovnat. Jak ale správně určit výši raisu tak, abychom ani neprodělali, ale ani to protivníkovi neudělali příliš snadné? Zde budeme vycházet z následující úvahy.

Tak jako my počítáme naše pravděpodobnosti, měl by to dělat i náš protihráč. S tím rozdílem, že on má již bank o nás navýšený o náš raise a zároveň jej ještě o svůj raise musí dorovnat. Tudíž jeho pod-odds by se dal vyjádřit takto:

kdy platí, že JehoDorovnání == NašeSázka. Z toho můžeme vzoreček zjednodušit do podoby:

Když už máme takto vyjádřený náš raise, chceme zjistit, kolik máme při jakém potu vsadit tak, abychom u protihráče dosáhli požadovaného poměru banku. Několika jednoduchými operacemi získáme následující vzoreček:

Co jsme nyní odvodili? Dosazením výše potu a požadovaných pot odds pro protihráče do tohoto vzorečku zjistíme, kolik máme udělat raise. Pokud tento vzoreček proženeme Excelem, získáme následující data:

Co nám tato tabulka tedy říká? Například pokud bude pot $50 a my budeme chtít, aby měl protihráč pot-odds 20%, vsadíme $17. Jednoduše si můžeme ověřit, že .

Samozřejmě asi nebudeme takovou tabulku nosit všude s sebou, takže by to chtělo nějakou metodu, jak správně hodnoty určovat kdekoli. Řešení je jednoduché, podívat se na podíl mezi původním stackem a částkou nutnou k navýšení. Tím získáme následující data:

Jak vidíme, násobek není závislý na výšce potu, díky tomu se jedná o univerzálně použitelné čísla. Nyní již stačí si jen zapamatovat důležité konstanty (zvýrazněné oranžově) a máme vyhráno ;-). Pokud chceme, aby soupeř měl díky naší sázce pot odds například 30%, vynásobíme pot konstantou 0,75.

sázka:
pot odds:

Jak je vidět, kouzelná tabulka funguje 😉

Bod třetí, správné určení sázky

Nyní již víme jak správně určit zda dorovnat či navýšit, a víme jak navýšit tak, aby to pro soupeře mělo dané následky. Jak ale správně určit tu pravou výši sázky? Pro naši sázku by vždy mělo platit následující tvrzení:

Co je to RaiseOdds? To je pravděpodobnost, kterou jsme spočítali pro protihráče jako jeho PotOdds. Zároveň však tato hodnota vyjadřuje poměr banku, do kterého vsázíte za předpokladu, že Váš spoluhráč dorovná. Důvodem, proč můžeme tuto hodnotu použít jako náš maximální možný pot-odds je, že mohou nastat jen dvě situace.

  1. Váš protihráč položit, tudíž jste bank vyhrál
  2. Váš protihráč dorovnal, tudíž bank je takový jaký jste si ho přál.

Výše uvedené výpočty jsou v jistých ohledech zjednodušené a existují případy, kdy přesný výsledek nebude naprosto stejný s výsledkem, kterého dosáhnete výše uvedeným postupem. Jsem si toho vědom, na druhou stranu, lepší zjednodušená pomůcka, než nic ;-).

Poznámky

  • Vše výše zmíněné platí při hře proti jednomu protihráči. Jakmile jich máte víc, tak se bank s každým dalším call zvyšuje a tím snižuje jeho pot odds. Pro hru se dvěmi protihráči by vzoreček musel být upraven na 3*Raise atd.
  • Celý výpočet staví na oddělení call a raise. Bohužel není možné tyto dvě věci mezi sebou jednoduše propojit tak, aby nám vyšli konkrétní konstanty. Pokud by znal někdo lepší metodu, rád si o ni někde přečtu.
Užitečné linky o Pokeru

Užitečné linky o Pokeru

Počítání pravděpodobností

Servery s informacemi o Pokeru

Tabulky s pravděpodobnostmi

Pokerové kluby Brno

Přehledy klubů

Pokerové kalkulačky

Tabulka pravděpodobností pro odds na flopu,turnu i riveru

Tabulka pravděpodobností pro odds na flopu,turnu i riveru

V předchozím článku jsem ukázal kompletní tabulku výpočtu pravděpodobností na turnu a riveru. Co mě ale ještě zajímalo bylo, jak je to s pravděpodobnostmi před flopem, a jak s kombinovanými pravděpodobnostmi flop+turn a flop+turn+river.

Proto vznikla následující tabulka. Pro jednoduchost je tentokrát jen do 20ti karet, řekl bych, že by to mělo stačit každému ;-).

Výpočet jednotlivých sloupečků

Nejprve bylo potřeba vypočítat pomocné pravděpodobnosti pro flop, river a turn. Ty vyjadřují doplňkový děj “v daném kole nepřijde žádná z očekávaných karet”. Důvod pro výpočet je zmíněn v článku “flush před flopem”. (Jen ve zkratce, namísto výpočtu pravděpodobnosti nebo počítáme doplněk k “a zároveň” negované pravděpodobnosti.).

Vzorečky pro tyto pravděpodobnosti jsou:


flop:
turn:
river:

Výpočet pro jednotlivé pravděpodobnosti je pak již jednoduchý. Vždy vynásobíme hodnoty vypočítané v pomocných sloupcích mezi sebou a výsledek odečteme od čísla jedna (doplněk pravděpodobnosti). Ukázka vzorečků:


flop:
flop+turn:
flop+turn+river:

Poslední část tabulky pak ukazuje podíl procent ku počtu karet. Jak jde vidět, u turnu a riveru jsou čísla koeficient 2.174. U flopu to bohužel už tak jednoduché není, tím pádem ani u kombinací s flopem (flop+turn, flop+turn+river). Výsledky si z toho vyvoďte každý sám dle potřeby 😉