Nyní bych rád pokračoval v hledání odpovědi na triviálně vypadající otázku z nadpisu. Ti z Vás, kdo četli předchozí článek “Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA” už znají tři postupy, jak toto číslo správně nepočítat ;-). A nyní by se asi slušelo ukázat, jak správně na to.

Nejprve odpověď na otázku položenou na konci minulého článku, kde udělali soudruzi chybu. Nejdřív ale, co bylo správně. Správně jsme určili pravděpodobnost jednotlivých jevů, kdy nepřijde žádné, jedno, dvě, tři, nebo čtyři esa. Dobře byla i úvaha s variantami, které mohou nastat. Co ovšem bylo špatně, byla četnost těchto variant. Proto to celé ve výsledku nesedělo.

Jak jsem se dostal ke správnému výsledku

Když mi výpočet z minulého článku nevycházel, zkusil jsem na to jít odjinud. Jako první jsem si položil otázku, kolik vlastně celkem existuje možných kombinací rozložení es. Podle toho, co jsem měl spočítáno z minula, to vypadalo na nějakých 18 kombinací, kdy nikdo nemá dvě esa, a 34, že někdo dvě esa má. Zkusil jsem si tedy spočítat, kolik jich je dohromady.

Takto vypadá stůl před flopem pro 4 lidi:

1)?? 2)?? 3)?? 4)??

Máme 4 esa, která se mezi hráče mohou rozdat všechna, nebo jen tři, dvě, jedno, či žádné. Takže matematická úloha zní: kolika způsoby lze vybrat z osmi karetních pozic čtyři/tři/dvě/jednu/žádnou pozici pro eso. Zapsáno matematicky:
[math]dbinom{8}{4} + dbinom{8}{3} + dbinom{8}{2} + dbinom{8}{1} + dbinom{8}{0} = 70 + 56 + 26 + 8 + 1 = 163 [/math]

Takže 163, to je o dost více než předpokládaných 16 + 34. Kde je problém? Problém je, že eso můžeme jednomu hráči dát jako první A? a nebo jako druhou kartu?A. A to je to, co jsme minule nezohlednili. Takže nyní již víme, že máme 163 možných kombinací. Teď je potřeba rozdělit tento počet mezi ty, co znamenají dvě esa pro některého hráče, a ty, co znamenají maximálně jedno eso.

Nejprve kombinace, kdy nikdo nemá dvě esa

?? , ?? , ?? , ?? – žádné eso ve hře
A? , ?? , ?? , ?? – jedno eso ve hře
A? , A? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
A? , A? , A? , ?? – tři eso ve hře
A? , A? , A? , A? – čtyři esa ve hře

A teď kombinace, kdy alespoň jeden člověk dvě esa má
AA , ?? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
AA , A? , ?? , ?? – tři esa ve hře
AA , A? , A? , ?? – čtyři esa ve hře
AA , AA , ?? , ?? – čtyři esa ve hře

Teď musíme určit, kolika způsoby lze výše uvedené kombinace sestavit.

Kombinace, kdy nikdo z hráčů nemá dvě esa
?? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{0} = 1[/math]
Vybíráme z osmi přihrádek žádnou. To lze udělat jen jedním možným způsobem.

A? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{1} = 8[/math].
Vybíráme z osmi přihrádek jednu, do které eso umístíme.

A? , A? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{2}-dbinom{4}{1} = 24 [/math]
Tady to již začíná být trochu komplikované. Nejprve spočítáme, kolika způsoby lze rozdělit 2 karty mezi 8 přihrádek. Pak od tohoto musíme odečíst případy, kdy jsou dvě esa u jednoho člověka.

A? , A? , A? , ?? [math]dbinom{8}{3}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1}) = 32 [/math]
A při třech esech je to ještě trošku složitější. Stejně jako v předchozím nejprve spočítáme všechna rozložení tři es mezi osm pozic. Pak ale odečteme ty případy, kdy má někdo esa dvě. Dvě esa jakou v předchozím případu může mít jen jeden ze 4 lidí, k tomu ale musíme do zbývajících šesti pozic umístit jedno zbývající eso.

AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{8}{4}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2}) = 10 [/math]
Postup opět stejný jako v předchozích dvou krocích. Všechny kombinace mínus ty, kde jsou dvě esa. To nyní znamená jeden člověk a do zbývajících šesti přihrádkách rozdělíme 2 zbývající esa.

Tím máme vyjádřené počty možností pro situace, kdy eso nikdo nemá. Pro vypočítání výsledku by nám to za normální situace již stačilo. Ja však budu pokračovat i s případy, kdy dvě esa někdo dostane. A to proto, abych pak mohl součtem ověřit, že dostanu jak oněch požadovaných 163 kombinací, tak že mi výsledná pravděpodobnost vyjde 100%.

Kombinace, kdy alespoň jeden z hráčů má dvě esa
AA , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1} = 4[/math]
Jednoduchá situace, kdy dáváme pár es mezi čtyři lidi.

AA , A? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1} = 24[/math]
Dáme pár es jednomu že čtyř lidí a třetí eso dáme do jedné ze šesti volných pozic.

AA , A? , A? , ??
AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2} = 60[/math]
Tyto dvě kombinace můžeme počítat dohromady. Nejprve dáme pár es jednomu ze čtyř lidí a pak rozdělíme zbylá dvě esa mezi šest přihrádek.

Nyní je pro ověření sečteme. Dostáváme tedy [math]1+8+24+32+10 + 4+24+60 = 163[/math]. Vypadá to tedy, že už jdeme skutečně správnou cestou 😉

Jak si můžete všimnout, vyjádřit kombinace, kdy někdo esa má je mnohem snazší než matematicky popsat situaci, kdy esa nikdo nemá. Když jsem se v původním článku snažil tuto pravděpodobnost vypočítat, předpokládal jsem, že to bude přesně naopak a výpočet vedl právě přes vyčíslování situace, kdy esa nepřijdou. Občas je dobré zkusit si rozepsat situace obě, aby člověk viděl, kudy je to snazší, a hlavě aby si mohl ověřit, že po sečtení obou částí vyjde 100% celek.

Pravděpodobnost jednotlivých kombinací

Když už máme rozložení jednotlivých jevů, potřebujeme pravděpodobnost těchto jevů. Tu jsme si spočítali již v minulém článku a ta byla určená správně. Zde jen pro zopakování shrnu (opět předpokládáme, že karty počítáme pro 4 protihráče a svoje již známe).

Máme tedy 5 možných situací:

– žádné eso [math]frac{46*45*44*43*42*41*40*39}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.486[/math]
– jedno eso [math]frac{4*46*45*44*43*42*41*40}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.0498[/math]
– dvě esa [math]frac{4*3*46*45*44*43*42*41}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.0037[/math]
– tři esa [math]frac{4*3*2*46*45*44*43*42}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.00018[/math]
– čtyři esa [math]frac{4*3*2*1*46*45*44*43}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.00000434[/math]

Nyní vynásobíme pravděpodobnosti jednotlivých situací s počtem možných kombinací dané situace. Zde je tabulka s roznásobením:

Sloupečky 0A-4A znamenají počet es, které jsou ve hře. První dva řádky tabulky jsou horní/dolní část kombinatorického čísla, třetí je pak hodnota tohoto čísla. Další tři rádky jsou pak počty kombinací, které lze z daného počtu es sestavit tak, aby nikdo neměl dvě esa, měl dvě esa a celkem. Poslední tři řádky jsou pak vynásobení počtu variant počtem kombinací.

V pravé části jsou pak součty hodnot z levé části tabulky. Pro kontrolu tedy vidíme, že je 75 kombinací, kdy nikdo dvě esa nemá, 88 že esa má a 163 celkem. A nakonec zeleně je zvýrazněn výsledek naší úlohy. Pravděpodobnost, že někdo má dvě esa při hře čtyř hráčů, je 1,96%.

Závěr

Jak jde vidět, spočítat pravděpodobnost pro čtyři lidi pro dvě esa už není žádná legrace. Na začátku minulého článku jsem slíbil, že ukážu jak je to s pravděpodobností v devíti lidech. Nakonec si to nechám ještě do dalšího článku, jelikož i tento je již dlouhý dost. Co se týče přidání více kombinací než es, složitost příkladu by neúměrně stoupla. Pokud bychom přidali ještě dva krále, bylo by potřeba pro každého člověka zohlednit, kdy nedostal ani eso, ani krále, kdy dostal jen eso, kdy dostal jen krále a kdy dostal obojí.

Jelikož ale i mne samotného zajímá, jak by to bylo s rostoucím počtem lidí a možných kombinací, další článek při variabilním počtu lidí a kombinací karet zkusím vyčíslit pomocí metody Monte Carlo. Na to již bude potřeba trochu výpočetní síly a trocha programování. Na druhou stranu tím půjde dělat řada dalších zajímavých srovnání. O tom ale zase až příště.

Pomohl Vám náš blog? Chcete nás podpořit? I málo udělá radost 😉