Jak se s postupujícím časem více a více prokousáváme knížkou od Dana Harringtona: Harrington on Holdem, napadá nás stále více otázek typu: jaká je pravděpodobnost, že jeden či více lidí má to a to. Jelikož jsem měl dneska trochu času, zkusili jsme spočítat, jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží dvě AA. To co vypadalo ze začátku jen jako další triviální úloha se zvrtla v matematické peklo :-), ale pěkně popořadě.

Zadání úlohy

Zadání dnešní úlohy tedy zní: Před flopem je n-hráčů. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich drží v ruce dvě esa.

Postup řešení

Jelikož již celková úvaha toho jak vše počítat není úplně triviální, rozhodl jsem se zahrnout do postupu i dva tři špatné pokusy, které výpočtu předcházely. Pokud někoho zajímá jen správný postup, přeskočte prosím až na “Úvaha třetí” další článek Jaká je pravděpodobnost, že někdo drží AA – část druhá. Pro ty, které zajímá jak se co počítá však doporučuji i chybné dvě tři předchozí, jde z nich krásně vidět, jak i drobné slovíčkaření nebo chybný předpoklad ovlivňuje výsledný výpočet.

Úvaha první – nesprávná

Když jsme začali s výpočtem, vycházeli jsme (mylně) z představy, že jen rozšíříme postup pro výpočet, kdy člověku nepřijde ani jedno eso. Tzn. vzoreček [math]frac{dbinom{46}{2}}{dbinom{50}{2}}[/math] jsme rozšířili pokusně na 4 lidi, takže jsme měli: [math]frac{dbinom{46}{2}}{dbinom{50}{2}}*frac{dbinom{44}{2}}{dbinom{48}{2}}*frac{dbinom{42}{2}}{dbinom{46}{2}}*frac{dbinom{40}{2}}{dbinom{44}{2}}[/math].
Když hodnoty vypočítáme, dostaneme následující výsledek:

Když se podíváme na pravděpodobnost u 4tého hráče, je jasné, že je něco špatně. Téměř 50% že nebude, respektive bude mít jeden ze čtyř hráčů dvě esa je nesmyslná. Takže v čem je chyba?

Problém byl v úvaze. Pokud chceme zjistit, zda někomu přišly dvě esa, tak opak od toho není, že někomu dvě esa nepřišly. Opak jevu “někomu dvě esa přišly” je totiž “každý z hráčů dostal nula nebo jedno eso”.

A co jsme tedy touto tabulkou spočítali? Jiné, také zajímavé číslo. Určili jsme, jaká je pravděpodobnost, že žádnému z hráčů nepřišlo ani jedno eso. A tím pádem také pravděpodobnost jevu opačného, což je “minimálně jednomu z hráčů přišlo minimálně jedno eso”. Takže jak vidíme, při čtyřech hráčích už je 50% šance, že někdo eso má.

Úvaha druhá – opět špatně

Když nevyšel pokus s “nikdo nedostane A”, zkusili jsme o něco složitější postup. Zkusili jsme si požadovaný výsledný jev rozepsat. Ten by mohl vypadat asi takto:

( hráč1 AA [math]frac{4}{50}*frac{4}{49}[/math]) nebo ( hráč2 AA [math]frac{4}{48}*frac{4}{47}[/math]) nebo …

jelikož je mezi jevy operátor “nebo”, bude potřeba počítat jevy opačné, tzn. jevy nepřijde hráči jedna, nepřijde hráči dva, atd. Takže jsme si vzoreček přepsali z:

[math](frac{4}{50}*frac{4}{49}) lor (frac{4}{48}*frac{4}{47}) lor dots[/math] na vzoreček [math](1-frac{4*4}{50*49}) * (1-frac{4*4}{48*47}) * dots[/math]

Bohužel, jak jsem již avizoval nadpisem, ani tento postup není správný. Ale i tato chyba je poměrně důležitá, proto jsem se ji rozhodl zde popsat. Celkově je úvaha v pořádku. Snažíme se vyčíslit jaká je pravděpodobnost, že esa přijdou prvnímu hráči, druhému, třetímu, nebo čtvrtému. Pro prvního hráče je výpočet v pořádku. Porovnáme počet kombinací, jak zvolit ze čtyř es dvě, ku kombinacím vybrání dvou karet ze všech ostatních.

Jenže u druhého hráče se dostáváme do problému. Podle toho co jsme napsali, tak počítáme pravděpodobnost, že hráč zvolí dvě karty ze čtyř es, ku kombinaci zbývajících karet v balíčku. Jenže to je ten problém. První hráč totiž mohl zvolit kombinaci AK. Tato kombinace je v pořádku z pohledu toho, že první hráč nemá esa. Bohužel ale na druhého hráče tím pádem již zbývají esa jen tři a ne čtyři. Proto je vzoreček špatně. Na pátého hráče totiž už nemusí zbývat ani jedno eso, a nebo na něj mohou zbývat esa pořád všechna čtyři.

To co jsme zde vyčíslili je pravděpodobnost, že si každý z hráčů ze zbývajícího baličku nevytáhne dvě ze čtyř karet, které v balíčku ještě jsou.

Úvaha třetí – jak jsem si myslel, že už vím, jak na to

Původní nadpis této kapitoly byl “Jak na to”. Po tom, co jsem během počítání zároveň psal i tento odstavec, byl jsem si naprosto jist, že to tak je správně. Bohužel až do samého konce, kdy vyšel nesmysl. Celou tuto kapitolu ponechávám v původním znění, kdy to vypadá jako jasný tah na branku. Až ji dočtete, schválně jestli přijdete na to, proč to nevyšlo. Já kvůli tomu včera nemohl usnout a až po dvou hodinách na to přišel ;-),

Pokud jste si pročetli předchozí dvě úvahy, je Vám jasné že snadno to nepůjde. Nejprve ukážu způsob výpočtu pro čtyři lidi, který poté zobecním a zjednoduším pro výpočet pro neomezený počet lidí.

Pokud máme zjistit, že někdo ze čtyř lidí dostal dvě esa, bude potřeba poprat se s následujicími možnostmi: nikdo nedostal eso, jeden až čtyři lidé dostali jedno eso, jeden člověk dostal dvě esa a zbytek mohl dostat 0 až dvě zbývající, každý maximálně jedno a dva lidé dostali dvě esa. Jak je vidět, kombinací je více než dost.

Pro zjednodušení, zde máme rozhodovací diagram pro všechny uvedené možnosti (jde jen o první třetinu tabulky, kdy první hráč nemá žádné eso):

Jak jde vidět, všech možných kombinací je spousty. Nyní je potřeba určit si, co a jak vlastně budeme počítat. Potřebujeme zjistit pravděpodobnost:

"dvě esa má první hráč" nebo "dvě esa má druhý hráč" nebo "dvě esa má třetí hráč" nebo "dvě esa má čtvrtý hráč".

Jak už bylo řečeno v několika předchozích článcích, spočítat pravděpodobnost “nebo” nelze u jevů, které nejsou izolované. Tudíž je potřeba výpočet převést na pravděpodobnost “a zároveň”. Ta zní následovně:

"první hráč nemá žádné nebo má jedno eso" a zároveň "druhý hráč nemá žádné nebo má jedno eso" a zároveň "třetí hráč nemá žádné nebo má jedno eso" a zároveň "čtvrtý hráč nemá žádné nebo má jedno eso"

Pokud tedy tento jev zvýrazníme do předchozí tabulky, získáme následující (zeleně jsou jevy co vyhovují, červeně ty co nevyhovují):

Celkově se nám tabulka dost proškrtala, takže když nyní necháme jen všechny ty, co vyhovují našemu jevu, získáme následující soupis:

V tabulce jsem rovnou přidal sloupeček, který ukazuje kolik es je ve hře. Ten je důležitý pro další výpočet. Pokud si tabulku shrneme dle počtu es ve hře, získáme:

Nyní již víme jaké možnosti mohou nastat a v jakém počtu. Stačí nám tedy vypočítat pravděpodobnost jednotlivých jevů, zohlednit jejich četnost a součtem všech získáme pravděpodobnost, že nikdo nedostal dvě esa. Doplněk je pak námi požadovaná hodnota, tj alespoň jeden dostal dvě esa.

Pravděpodobnost, že nikdo nedostal ani jedno eso

Tzn to co jsme původně v úvaze jedna považovali za výsledek 😉 )

[math]frac{46*45}{50*49}*frac{44*43}{48*47}*frac{42*41}{46*45}*frac{40*39}{44*43} = 0.486[/math]

Pravděpodobnost, že někomu přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{45*44}{48*47}*frac{43*42}{46*45}*frac{41*40}{44*43} = 0.0498[/math]

Pravděpodobnost, že dvěma lidem přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{44*43}{46*45}*frac{42*41}{44*43} = 0.0037[/math]

Pravděpodobnost, že třem lidem přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{2*44}{46*45}*frac{43*42}{44*43} = 0.0002[/math]

Pravděpodobnost, že čtyřem lidem přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{2*44}{46*45}*frac{1*43}{44*43} = 0.000004[/math]

Tím bychom měli popsané všechny možné varianty a nyní zohledníme počet výskytů:

[math]0.486*1 + 0.0498*4 + 0.0037*6 + 0.0002*4 + 0.00004*1 = 0.709[/math]

A tady mi začalo být jasné, že je něco špatně. 71% že nikdo dvě esa nedrží? Takže 30% že někdo ta esa má?? To asi nebude dobře a pokud ano, už nikdy nehraji s ničím jiným 😉

A nyní si položme otázku, kde udělali soudruzi chybu. Všechno vypadalo, že sedí. Popsali jsme všechny možné stavy, vypočítali pravděpodobnost těchto stavů, ale nevychází to. Když jsem stejným pokusem zkusil počítat z “druhé strany”, tzn. přes někdo má AA, došel jsem ke 2%. Kde je těch zbývajících 27%?

Jak jsem již avizoval na začátku tohoto odstavce, chvilku mi to trvalo než jsem na to přišel. Důvod a již opravdu správný výpočet ukážu v pokračování článku.

Pomohl Vám náš blog? Chcete nás podpořit? I málo udělá radost 😉