Vodnický blog

V minulém článku jsem ukázal pravděpodobnostní tabulky pro hru před flopem: http://www.doameriky.com/2012/02/05/preflop-pravdepodobnost-pro-jednoho-az-sedm-protihracu/. Zároveň s tím jsem anoncoval, že kromě těchto tabulek je také způsob, jak si hodnoty odvodit bez nutnosti si vše pamatovat. V dnešním článku ukážu kromě výsledného postupu také, jakým způsobem jsem se k této pomůcce dobral.

Zjednodušení tabulky

Naši cestu za způsobem, jak si tabulku zapamatovat, začneme rekapitulací. Soubor s vygenerovanými statistikami je k dispozici na Preflop statistics – first version.

Poznámka: Kvůli přehlednosti budu v článku pracovat jen s prvními třemi tabulkami (proti 2,3 a 4 protihráčům), tabulky ve všech přiložených souborech a výsledky však budou až proti sedmi hráčům.

Krok první, hledání závislostí

Prvním krokem při hledání nějakého zjednodušujícího vzorce je analýza dat a hledání souvislostí mezi nimi. Nejprve se na data podíváme a zkusíme najít nějaké přírůstky nebo úbytky, případně násobky či dělitele. Protože většina čísel je od sebe jen nepatrně rozdílná, násobky či dělitelé pro nás nejsou praktické (při takto malých rozdílech bychom museli násobit desetinnými čísly).

Při hledání souvislostí tedy budeme používat jen sčítání a odčítání. Dalším úkolem je najít způsob, jak z co nejmenšího počtu čísel dopočítat ideálně celou tabulku. Pokud se na tabulku podíváme, dalo by se vycházet z hodnoty pravděpodobnosti AA. Poté pokračovat po diagonále přes všechny dvojice až do 22. Dále pak potřebujeme způsob, jak přejít na suited a offsuited kombinace.

Závislost hodnot na diagonále

Podívejme se tedy nejprve na diagonálu. V úvahu nám připadají dvě možnosti, jak závislost hledat. Buď budeme počítat rozdíl hodnoty kterékoli dvojice vůči výchozí hodnotě AA, nebo jako rozdíl hodnoty mezi libovolnou dvojící a dvojicí předcházející. Pokud zkusíme tyto rozdíly spočítat, dostaneme následující výsledky:

První sloupec ukazuje diagonální hodnoty, druhý sloupec ukazuje hodnoty po spočítání rozdílu mezi hodnotou a předchozí hodnotou na diagonále, třetí sloupec pak hodnoty po odečtení pravděpodobnosti dvojice vůči AA pravděpodobnosti. Jak jde vidět, hodnoty ve třetím sloupci nám moc nepomůžou, protože v nich žádný vzorec není. Oproti tomu druhý sloupec bude možné při určitém zaokrouhlení použít.

Závislost ostatních hodnot

Nyní zkusíme odvodit stejným způsobem také přechod z dvojic do suited a offsuited oblasti. Výsledné hodnoty spočítáme tak, že odečteme pravděpodobnost párové hodnoty od suited/offsuited hodnoty. Například pro AK odečteme pravděpodobnost této kombinace od kombinace karet AA. Když už budeme mít spočítaný přechod z dvojice do suited/offsuited zóny, spočítáme i rozdíly mezi postupně se zhoršujícími dvojicemi karet. Například tedy odečteme pravděpodobnosti mezi A9 a A8.

Pokud tyto operace zadáme pro všechny hodnoty v tabulkách, získáme následující výsledky (kompletní XLS soubor ke stažení zde

Pokud se na výsledky podíváme, je vidět, že se nejedná o úplně lineární změny. To nám ale pro naše hledání zjednodušeného postupu výpočtu nevadí. To, že se celkový výsledek bude lišit v řádu procent od skutečné hodnoty, stejně při živých turnajích nebude nijak výslednou hru ovlivňovat.

Závislost na počtu protihráčů

Poslední závislost, kterou hledáme, je závislost mezi pravděpodobnostmi AA při různém počtu protihráčů. Ta je pro nás naštěstí také velmi jednoduchá. Proti jednomu je výchozí hodnota 85%, proti dvěma 75%, proti třem 65%, proti čtyřem 55%. Od pěti hráčů již hodnoty neklesají o 10% ale jen o 5%.

Zprůměrování hodnot

Nyní, když už máme vše spočítáno pro všechny situace, je potřeba si hodnoty co nejvíce zjednodušit. To uděláme tak, že výše popsané hodnoty co nejvíce zprůměrujeme, ale zároveň se pokusíme o co nejvyšší přesnost. Spočítáme tedy průměrnou hodnotu při procházení přes páry, dále průměrnou hodnotu přechodu do suited/offsuited oblasti a průměrnou hodnotu posunu po libovolné dvojici. Tím získáme následující:

Výsledné pravidlo

A tím se dostáváme k finálnímu výpočtu. Pokud si vytáhneme všechny doposud spočítané hodnoty do souhrné tabulky, získáme tento souhrn:

Zde je vysvětlení jednotlivých sloupců:

• počet protihráčů
• počáteční hodnota
• hodnota, kterou odčítáme od výchozího čísla, pokud se pohybujeme po diagonále
• hodnota, o kterou odečteme číslo získané při pohybu po diagonále, při přechodu do suited zóny
• hodnota, o kterou odečteme číslo získané při pohybu po diagonále, při přechodu do offsuited zóny
• hodnota, kterou odčítáme při horizontálním nebo vertikálním pohybu tabulkou v suited / offsuited zóně

I tato tabulka se dá ještě dále zjednodušit, jelikož řada hodnot je velmi podobná, a v rámci co nejjednodušších výpočtů můžeme nějakou odchylku tolerovat.

Stačí nám zapamatovat si tedy 85%, pak 10%, resp 5% pro kalibraci při rostoucím počtu protihráčů. Dále hodnotu 3%, kterou odčítáme při pohybu po diagonále, dále konstantu mezi 20%-5% při přechodu do suited zóny dle počtu hráčů, o 3% vyšší hodnotu při přechodu do offsuited zóny a konstantu 1,3% při horizontálním/vertikálním pohybu po tabulce. A to je vše. Oproti původní tabulce s tisícem hodnot si potřebujem zapamatovat jen jeden postup a cca 7 konstant.

Aplikace postupu v praxi

A nyní již jen zbývá ukázat, jak získaný algoritmus uplatnit v praxi.

J8 suited proti jedomu protihráči

Výchozí hodnota 85% odpovídající kartám AA. Nyní se po diagonále posuneme na JJ, to je posun o 3 karty, každý posun 3%, odečteme tedy 9% od 85%. Prozatimní výsledek 76%. Nyní přejdeme do suited zóny na hodnotu odpovídající kartě JT. Při přechodu odčítáme hodnotu 20%, tím získáváme pravděpodobnost 56%. Nyní již jen zbývá posunout se horizontálně na kombinaci J8. To je posun o další dvě karty doprava, tzn 2 * 1.3%, tzn 2.6%. Odečteme tedy tuto hodnotu od dosavadního výsledku 56% a získáme finální hodnotu 55.4%.

Pokud hodnotu z našeho zjednodušeného výpočtu porovnáme s hodnotou z generované tabulky, liší se výsledek o cca 1%. To je velmi dobrý výsledek. Obecně i rozdíl 10% je ještě stále pro potřeby živé hry ideální.

K3 offsuite proti pěti hráčům

Druhý příklad ukazuje výpočet síly karet K3[/car] proti pěti protihráčům. Opět vycházíme z hodnoty 85%. Tentokrát musíme odečíst 10% za každého z prvních tří protihráčů, dalších 5% za každého dalšího. Odčítáme tedy hodnotu 35%. Dále se musíme po diagonále posunout na KK, tudíž odečteme 3%. Poté přejdeme do offsuited zóny, což je při pěti hráčích cca 7%+3%. A poté vertikální posun z KQ na karty K3. To je posun o 9 pozic, tudíž 9*1.1 = ~9%. Celkem tedy máme výpočet 85%-35%-3%-10%-9% = 28%.

Opět porovnáme výsledek našeho výpočtu s vygenerovanou hodnotou z tabulky. Dostáváme tedy 28% proti 23%. Rozdíl pouhých 5%. Navíc v situaci, kdy stojíme s relativně špatnými kartami proti velkému počtu hráčů.

Závěr

A jsme u konce dnešního článku. Doufám, že jsem celou metodiku analýzy i výslednou metodu popsal dostatečně srozumitelně a přijde vhod i někomu z vás. Pokud někdo budete mít zájem, zde je ke stažení výsledný XLS soubor. Stejně jako vždy, pokud budete mít jakýkoli dotaz k výše zmíněnému, neváhejte se zeptat dole v komentářích.

Před nějakou dobou jsem se v jednom ze svých článků zmiňoval o matematické metodě Monte Carlo a jejím využití při počítání pravděpodobností pomocí počítače. Tento týden jsem měl chvilku času, a tak jsem se věnoval implementaci základního generátoru. Podrobnější informace o generátoru a dalších informace o generování statistik sepíšu v některém z dalších článků.

Hlavním důvodem, proč jsem generátor statistik tento týden vytvořil, byly preflop statistiky. Nikde na internetu ani v knížkách jsem nenašel nějaké ucelené tabulky pravděpodobností s jednotlivými kombinacemi. Když už někde nějaká zmínka byla, bylo to vždy uvedeno maximálně proti jednomu hráči. Ale co když chci vědět, jak silné je mé Ah4h proti čtyřem hráčům? Možností je, zadat tuto kombinaci do některé z pokerových kalkulaček. Pokud ale budete chtít vidět statistiky pro rozsah karet a pro více hráčů, nezbude Vám, než si hodnoty ručně vypsat.

Prvním krokem tedy bylo napsat generátor a vygenerovat všechna data. Výsledky můžete vidět níže. Pro případné zájemce, kteří by chtěli s daty dále pracovat, přikládám také výsledná data ve formátu CSV, který můžete otevřít například pomocí aplikace Microsoft Excel: Preflop statistics.

Jelikož se jedná o spoustu čísel, které si asi většina lidí (neba alespoň já ne ;-)) nezapamatuje, našel jsem několik pomocných způsobů, jak alespoň hrubě tato čísla narychlo z hlavy spočítat. O tom ale až v příštím článku, jelikož tento je díky tabulkám už tak dost dlouhý. Pokud by někdo měl zájem o nějaké podobné pravděpodobnostní tabulky, pište do komentářů náměty a není problém je vygenerovat.
A nyní již výsledné tabulky. První tabulka ukazuje rozložení kombinací, ty další pak pravděpodobnosti proti jednomu hráči až sedmi protihráčům.

Card	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	AA	AKs	AQs	AJs	ATs	A9s	A8s	A7s	A6s	A5s	A4s	A3s	A2s
K	AKo	KK	KQs	KJs	KTs	K9s	K8s	K7s	K6s	K5s	K4s	K3s	K2s
Q	AQo	KQo	QQ	QJs	QTs	Q9s	Q8s	Q7s	Q6s	Q5s	Q4s	Q3s	Q2s
J	AJo	KJo	QJo	JJ	JTs	J9s	J8s	J7s	J6s	J5s	J4s	J3s	J2s
T	ATo	KTo	QTo	JTo	TT	T9s	T8s	T7s	T6s	T5s	T4s	T3s	T2s
9	A9o	K9o	Q9o	J9o	T9o	99	98s	97s	96s	95s	94s	93s	92s
8	A8o	K8o	Q8o	J8o	T8o	98o	88	87s	86s	85s	84s	83s	82s
7	A7o	K7o	Q7o	J7o	T7o	97o	87o	77	76s	75s	74s	73s	72s
6	A6o	K6o	Q6o	J6o	T6o	96o	86o	76o	66	65s	64s	63s	62s
5	A5o	K5o	Q5o	J5o	T5o	95o	85o	75o	65o	55	54s	53s	52s
4	A4o	K4o	Q4o	J4o	T4o	94o	84o	74o	64o	54o	44	43s	42s
3	A3o	K3o	Q3o	J3o	T3o	93o	83o	73o	63o	53o	43o	33	32s
2	A2o	K2o	Q2o	J2o	T2o	92o	82o	72o	62o	52o	42o	32o	22
vs 1	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	85.60	67.26	66.41	65.55	64.57	62.62	61.87	61.19	59.62	59.84	58.72	58.34	57.13
K	65.73	82.72	63.63	62.76	62.05	60.05	58.27	57.65	56.64	55.43	54.80	53.86	53.30
Q	64.46	61.60	80.16	60.53	59.79	57.60	55.92	54.23	53.46	52.83	51.89	51.10	50.21
J	63.53	60.89	57.93	77.74	57.81	55.79	53.81	52.07	50.71	49.94	49.11	47.99	47.82
T	62.73	60.12	57.35	55.33	75.15	54.24	52.28	50.82	48.95	47.15	46.55	45.86	44.99
9	60.65	57.73	55.52	53.62	51.73	72.18	50.79	49.31	47.38	45.75	43.52	43.22	42.51
8	60.23	55.89	53.58	51.53	49.88	48.12	69.38	48.15	46.02	44.92	42.63	40.82	40.32
7	58.72	54.92	51.70	49.86	47.86	46.16	45.06	66.41	45.46	43.50	41.94	39.81	38.28
6	57.60	54.41	50.91	47.90	46.28	44.51	43.32	42.05	63.80	43.08	41.63	39.47	37.61
5	57.53	52.95	49.99	47.02	44.38	42.72	41.54	40.54	40.01	60.67	41.16	39.78	37.97
4	56.63	52.28	48.85	46.02	43.34	40.71	39.50	38.34	37.87	38.07	57.23	38.70	36.75
3	55.76	51.55	48.23	45.35	42.54	39.65	37.53	36.75	36.25	36.13	35.08	54.30	36.30
2	54.74	50.35	47.08	44.05	41.50	39.21	36.69	34.66	34.32	34.42	33.12	32.19	50.87
vs 2	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	73.62	50.44	48.99	47.83	46.88	44.08	42.92	42.21	40.62	41.06	40.07	39.26	38.43
K	48.05	69.34	46.81	45.43	44.48	42.01	39.69	39.01	37.74	36.95	36.04	35.67	34.56
Q	46.67	44.38	64.98	44.19	42.86	40.21	38.32	36.10	35.35	34.50	33.99	33.12	32.31
J	45.18	43.16	41.03	61.20	41.54	39.23	37.09	35.02	33.11	32.44	31.61	31.13	30.34
T	43.93	41.71	39.86	38.83	57.82	38.36	36.51	34.42	32.31	30.50	30.21	29.08	28.31
9	41.23	39.14	37.34	36.18	35.39	53.63	35.55	33.97	31.82	29.86	27.96	27.70	26.82
8	40.03	36.69	34.81	33.55	33.18	32.28	50.04	33.33	31.65	29.84	27.97	25.80	25.59
7	38.97	35.65	32.54	31.56	30.91	30.52	30.19	46.63	31.39	30.06	27.93	26.32	24.19
6	37.68	34.49	31.97	29.64	28.55	28.31	27.83	28.02	43.00	29.93	28.36	26.19	24.51
5	37.82	33.75	31.19	28.78	26.78	25.76	25.84	26.00	26.58	40.00	28.73	26.99	25.34
4	37.01	32.66	29.99	28.06	26.00	24.14	24.17	24.08	24.51	25.06	36.71	26.28	24.47
3	35.96	31.82	29.22	26.93	25.27	23.66	22.32	22.12	22.38	23.36	22.10	33.59	23.57
2	35.18	30.84	28.19	25.93	24.49	22.73	21.68	20.15	20.59	21.14	20.50	19.62	30.92
vs 3	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	63.77	41.08	39.27	38.02	36.70	34.25	33.04	31.82	30.79	31.50	30.35	29.69	29.00
K	38.22	58.23	37.62	36.72	35.36	32.34	30.30	29.52	28.56	27.43	26.73	26.46	25.55
Q	36.68	34.76	53.65	34.99	34.19	31.47	29.32	27.32	26.71	25.76	25.22	24.60	23.75
J	35.03	33.22	32.15	49.22	33.37	30.73	28.70	26.90	25.04	24.23	23.82	23.21	22.29
T	33.65	31.76	30.88	30.59	45.09	30.45	28.51	26.17	24.46	22.85	22.55	21.65	21.19
9	30.57	29.12	27.92	27.21	27.14	41.11	27.95	25.99	24.55	22.43	20.86	20.51	19.87
8	29.32	26.57	25.58	24.87	24.96	24.56	37.22	26.29	24.35	22.63	21.06	19.53	19.20
7	28.41	25.67	23.65	22.70	22.92	22.51	22.66	34.02	24.72	22.83	21.50	19.77	18.38
6	26.73	24.69	22.70	20.87	20.72	20.58	20.69	20.77	31.56	23.25	21.88	20.14	18.46
5	27.17	23.93	21.81	20.33	18.72	18.63	19.01	19.37	19.37	28.63	22.26	20.81	19.14
4	26.55	23.23	21.12	19.77	18.04	16.63	17.15	17.38	17.90	18.66	26.34	19.89	18.48
3	25.62	22.34	20.30	18.92	17.71	16.34	15.17	15.72	15.96	16.73	16.08	23.49	17.87
2	24.88	21.46	19.89	18.33	17.05	15.67	14.71	13.92	14.18	15.01	14.52	13.47	21.52
vs 4	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	56.04	34.83	33.10	31.80	30.34	27.69	26.89	26.03	24.98	25.57	24.86	24.19	23.66
K	31.63	49.54	31.97	30.30	29.41	26.80	24.71	23.53	22.78	22.54	21.86	21.35	20.97
Q	29.78	28.98	44.27	29.59	28.57	25.90	23.81	22.10	21.39	20.94	20.25	19.83	19.41
J	28.28	27.17	26.61	40.19	27.96	25.40	23.67	21.66	20.12	19.34	18.98	18.40	18.01
T	26.98	25.91	24.90	24.81	36.16	25.49	23.64	21.85	19.94	18.59	17.99	17.49	16.96
9	24.10	22.89	22.31	21.75	21.87	32.22	23.03	21.51	19.81	18.44	17.00	16.65	16.13
8	22.74	20.71	20.08	19.80	20.16	19.52	29.26	21.65	20.13	18.62	17.09	15.75	15.43
7	21.90	19.83	17.80	17.84	17.83	17.75	18.10	26.00	20.42	19.20	17.35	15.92	14.66
6	20.51	18.97	17.14	16.02	15.96	15.93	16.36	16.66	23.56	19.34	17.78	16.49	15.21
5	21.10	18.46	16.64	15.20	14.34	14.27	14.77	15.22	15.56	21.97	18.60	17.17	15.78
4	20.57	17.49	15.81	14.66	13.76	12.65	13.22	13.52	13.87	14.88	19.83	16.45	15.53
3	20.01	16.78	15.48	14.41	13.06	12.16	11.34	12.00	12.38	13.16	12.81	18.26	14.85
2	19.20	16.32	14.81	13.53	12.74	11.71	10.88	10.37	10.95	11.72	10.93	10.52	16.88
vs 5	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	48.86	30.61	28.57	27.12	26.18	23.34	22.49	21.84	21.10	21.47	20.98	20.56	19.96
K	27.02	42.39	27.72	26.31	25.22	22.55	20.87	20.17	19.44	18.96	18.42	18.14	17.39
Q	25.24	24.32	37.20	25.66	24.63	22.28	20.19	18.68	18.05	17.49	17.03	16.76	15.88
J	23.73	22.74	22.08	33.11	24.38	21.77	19.98	18.17	16.92	16.44	15.92	15.40	15.28
T	22.21	21.51	20.95	20.96	29.37	21.91	20.23	18.28	17.11	15.54	15.06	14.78	14.50
9	19.54	18.79	18.35	18.16	18.55	26.05	19.89	18.51	16.98	15.49	14.23	13.87	13.50
8	18.43	16.68	16.24	16.21	16.43	16.04	23.01	18.67	17.22	15.75	14.46	13.33	12.94
7	17.61	15.91	14.38	14.36	14.53	14.47	14.90	21.15	17.60	16.40	15.00	13.58	12.26
6	16.80	14.97	13.98	12.75	12.76	12.96	13.53	13.77	19.24	16.96	15.44	14.21	12.79
5	17.58	14.65	13.13	12.29	11.43	11.31	11.93	12.45	12.98	17.74	16.12	15.01	13.84
4	16.68	14.24	12.68	11.74	10.93	9.80	10.53	11.07	11.56	12.25	16.25	14.47	13.33
3	16.12	13.62	12.35	11.32	10.70	9.58	8.98	9.45	10.23	11.04	10.47	15.33	12.66
2	15.49	13.22	11.69	10.89	10.10	9.25	8.64	8.29	8.74	9.60	9.08	8.65	14.31
vs 6	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	43.47	26.98	25.18	24.13	22.64	20.68	19.65	18.89	18.32	18.86	18.37	18.08	17.20
K	23.28	36.80	24.50	23.00	22.28	19.80	18.04	17.70	16.95	16.30	16.06	15.66	15.32
Q	21.65	20.88	31.59	22.67	21.75	19.30	17.60	15.94	15.73	15.11	14.65	14.12	14.24
J	20.08	19.56	19.04	27.71	21.45	19.12	17.40	15.79	14.64	14.10	13.94	13.47	13.30
T	19.02	18.34	18.02	18.16	24.16	19.41	17.50	16.05	14.75	13.55	13.08	12.83	12.55
9	16.24	15.83	15.42	15.40	15.66	21.32	17.51	16.24	14.82	13.42	12.47	12.20	11.76
8	15.33	13.84	13.46	13.52	13.86	13.65	19.08	16.37	15.19	13.98	12.68	11.58	11.37
7	14.58	13.06	11.90	11.77	12.08	12.18	12.32	17.49	15.55	14.49	13.35	12.07	10.74
6	13.81	12.53	11.25	10.39	10.70	10.69	11.41	11.81	16.01	15.12	13.89	12.52	11.32
5	14.39	12.12	10.97	10.04	9.27	9.37	10.00	10.58	11.16	14.89	14.81	13.37	12.21
4	13.90	11.79	10.33	9.42	8.76	8.25	8.63	9.23	9.89	10.65	13.75	12.89	11.84
3	13.66	11.28	10.08	9.23	8.66	7.78	7.29	8.00	8.59	9.49	8.87	13.34	11.48
2	13.08	10.91	9.73	8.96	8.27	7.54	7.15	6.60	7.37	8.27	7.97	7.28	12.76
vs 7	A	K	Q	J	T	9	8	7	6	5	4	3	2
A	38.04	24.32	22.53	21.38	20.27	18.11	17.23	16.64	16.30	16.66	16.59	15.98	15.77
K	20.58	32.00	21.96	20.70	19.77	17.65	16.05	15.52	14.77	14.58	14.05	13.87	13.79
Q	18.86	18.24	27.05	20.38	19.25	17.01	15.52	14.18	13.69	13.48	13.04	12.94	12.57
J	17.45	16.80	16.63	23.53	19.14	17.07	15.38	13.97	13.02	12.63	12.38	11.94	11.79
T	16.24	16.04	15.68	15.83	20.45	17.22	15.84	14.22	13.10	11.96	11.68	11.38	11.25
9	13.76	13.24	13.00	13.12	13.64	18.16	15.66	14.27	13.20	12.05	11.02	10.69	10.44
8	12.92	11.65	11.31	11.42	11.99	11.85	16.44	14.77	13.72	12.59	11.49	10.37	10.15
7	12.23	11.17	9.93	10.13	10.39	10.53	10.89	15.09	14.08	13.00	11.86	10.93	9.64
6	11.65	10.52	9.49	8.54	9.05	9.17	9.78	10.32	13.94	13.44	12.49	11.49	10.40
5	12.29	10.00	9.05	8.43	7.89	8.04	8.57	9.18	9.89	12.91	13.12	12.43	11.29
4	12.06	9.81	8.78	8.07	7.54	6.85	7.20	7.90	8.75	9.52	12.36	11.66	10.63
3	11.66	9.69	8.47	7.71	7.20	6.46	6.27	6.55	7.40	8.50	7.69	12.15	10.39
2	11.03	9.26	8.20	7.49	7.04	6.31	6.05	5.72	6.34	7.24	6.84	6.58	11.56

V předchozích článcích jsem se věnoval tomu, jak vypočítat a správně určit výši sázky, co je to expectation value a jak správně s těmito údaji zacházet. Dnes bych chtěl uvést pár dalších příkladů EV a ukázat, jak bychom měli změnit strategii hry v okamžiku, kdy máme více než 50% šanci na výhru.

Rozdělení her podle výše pravděpodobnosti výhry

Tak jako ve všech článcích, i zde budu pracovat s absolutními čísly a pravděpodobnostmi. V reálné hře si však nikdy nebudeme 100% jisti jaké karty náš spoluhráč či spoluhráči zrovna drži. Konkrétní použití pak již záleží na míře přesnosti našich odhadů a schopnosti čtení protihráčů.

Naše šance jsou nižší než 50%

Mezi tyto sitace lze zařadit například hraní flush-draw 18%/36% nebo straight-draw 16%/32%. Případně hry, kdy si nejsme jisti přesně sílou karet protihráče a domníváme se, že naše šance jsou nižší než 50%. V těchto případech hrajeme tak, jak jsem psal již v minulých článcích. Pomocí villain tabulky si zjistíme koeficient potu odpovídající naší pravděpodobnosti, po vynásobení potu tímto koeficientem pak máme maximální výši naší sázky či dorovnání takové, abychom dlouhodobě nebyli ve ztrátě.

Nyní převedeme výše zmíněné pravidlo do praxe a ukážeme si, jak vypadá taková EV tabulka v případě, že máme 20% šanci na výhru a 80% na prohru. Podle villain tabulky víme, že 20% šanci na výhru odpovídá koeficient 0.333x. Jak bylo již řečeno úvodem, tento koeficient nám určuje maximální výši sázky, nikoli optimální. Zkusme si tedy ukázat několik různých situací, kdy vždy ve stejné situaci zvolíme pokaždé jinou výši raise.

Hodnoty v následující tabulce reprezentují násobky výchozího potu. Pokud je tedy uvedeno například sázka 0.22x a zisk 1.22x, znamená to, že v případě potu $100 sázíme $22 a vyhrát můžeme $122 ($100 pot + $22 dorovnání soupeře). Stejně jako i v minulých článcích budeme ukazovat situaci s jedním protihráčem.

Nyní bych rád rozepsal několik důležitých věcí, které z tabulek můžeme vyčíst. Zaprvé, při sázce 0,33x násobku potu skutečně neproděláváme, ale také nevyděláváme. Nejedná se tedy o nijak výnosný bet. Dále se podíváme na situaci, kdy vyděláváme nejvíce. Paradoxně je to v situaci, kdy nevsadíme nic, ale přesto pot získáme. V tu chvílí neriskujeme jediný náš žeton a přitom jsme vydělali celý pot. To je z dlouhodobého hlediska nejvýnosnější styl hry. Třetí část pak ukazuje, jak zbytečně zvyšující se sázky převyšující možnosti našich karet zbytečně proděláváme více a více.

Na základě těchto tabulek lze tedy říci, že aby naše hra byla co nejvíce zisková, je potřeba hrát nikoli na maximum villain koeficientů, ale ideálně na co nejméně. Pokud již je potřeba nějaké sázky dělat, tak jen v nezbytně nutné výši za účelem vyhnání protihráče, případně na zjištění, jak na tom jsme. Nikoli však za účelem budování potu nebo zlepšování EV. Čím méně do potu v této situaci pošleme, tím více budeme ziskoví.

Naše šance jsou vyšší než 50%

Druhou skupinu herních situací tvoří ty hry, kdy jste více než 50% vítězem. To jsou situace, kdy držíte nejsilnější karty proti draw, máte nuts a podobně. V tuto chvíli je potřeba změnit herní strategii. Prvním důvodem popsaným v jednom z dřívějších článků je situace, kdy protiháč má nějakou draw. Je potřeba mu nastavit takové pot-odds, aby se mu dorovnání nevyplatilo. Druhým důvodem je pak budování co největšího potu, aby vaše výhra a tím pádem také EV bylo co nejvyšší.

Ukažme si nyní opět sérii tabulek, tentokrát však pro situaci, kdy naše šance na výhru je 80%, zatímco na prohru pouze 20%.

Jak jde vidět, v této situaci již není potřeba zohledňovat naši pravděpodobnost na výhru. Jakmile překročíme hranici 50%, stává se naše hra zisková bez ohledu na výši sázky. V tuto chvílí je tak naším největším problémem, jak dostat do hry z protihráčů co nejvíce chipů.

Naše šance jsou přesně 50%

Tato situace nastane v reálu asi velmi málo a ještě mnohem méně často si budete vědomi, že je to zrovna přesně tato situace. Ačkoli ji při běžné hře není potřeba nijak zohledňovat, rád bych ji zde ukázal z jiného důvodu. Je na ní totiž krásně vidět, proč a jak je potřeba měnit styl hry v případech, kdy máte šance nižší než 50%, a v situacích kdy jste z více než 50% vítězové.

Jak můžeme v tabulkách vidět, pokud je šance na výhru 50:50, je úplně jedno, kolik vsadíte, vždy budete dlouhodobě vydělávat. Důvodem je, že ať vsadíte jakoukoli částku, jednou ze dvou her ji prohrajete, a jednou ze dvou her vyhrajete. Tím pádem vaše sázky budou mít vždy EV0, a k tomu jednou ze dvou her vyhrajete pot, tudíž EV+.

Shrnutí

V předchozích třech bodech jsem se snažil ukázat změnu a vývoj EV v situacích, kdy máte 20:80 šance na výhru a prohru. Nyní bych chtěl ještě ukázat, jak je to se změnou EV v závislosti na šanci na výhru. Následující tabulka ukazuje výsledné EV při daných šancích na výhru a výše sázky jakožto násobku potu:

A k tabulce ještě graf, znázorňující vývoj těchto hodnot:

Jak jde z tabulky i grafu vidět, je to asi tak, jak jsme očekávali. Čím vyšší máte pravděpodobnost na výhru, tím vyšší je i vaše EV. V případech, kdy šance na výhru klesnou pod 50%, je potřeba sázet dle villain tabulky, abychom nepřekročili maximální možnou neprodělečnou částku.

Dodatek

V případě hry proti více hráčům je naše EV lepší. Zde jsou tabulky EV při hře proti dvěma, třem a pěti protihráčům. Jak z nich lze vidět, hra je v případě více hráčů více zisková, avšak je potřeba zohlednit také riziko, že při více hráčích je vyšší šance, že nás někdo porazí. Ovšem při hře s nuts nebo velmi silnými kombinacemi je několikanásobně výnosnější hrát s více hráči.

Z toho také vyplývá, že pokud držíte v danou chvíli na ruce nuts (nejlepší možné karty v dané hře), je lepší volit nižší sázky do více hráčů, než zbytečně protihráče ze hry vyhánět. Je to logické, ale tady máte důkaz, že to tak skutečně je ;-).

Další z velmi užitečných pomůcek při výpočtu pravděpodobností a velkostí sázek je ukazatel EV – Expectation Value (očekávaná hodnota). Hodnota EV vyjadřuje průměrnou částku, jakou můžete očekávat při výhře nebo prohře dané sázky (v případě pokeru dané handy).

Jak EV určit

Abychom mohli EV učit, musíme nejprve vyčíslit pravděpodobnost výhry a prohry. Dejme tomu hod kostkou, chceme se vsadit, že nám padne šestka. Pravděpodobnost, že šestka padne je 1/6, že nepadne 5/6. Dále na určení EV musíme vědět, kolik v dané sázce vyhrajeme, případně prohrajeme. Dejme tomu, že nám někdo nabídne, že nám dá $10, když šestka padne, a $2 dáme my jemu, když šestka nepadne.

Tím máme veškeré potřebné informace. Abychom určili očekávanou hodnotu sázky, jednoduše vynásobíme možný zisk pravděpodobností výhry a případnou ztrátu pravděpodobností prohry a tyto dva výsledky sečteme. Dostaneme tedy následující tabulku:

Situace	Pravděpodobnost	Zisk/Ztráta	Pravděp. * částka
Výhra	1/6 = 16.66%	$10	$10 * 16.66%	$1.66
Prohra	5/6 = 83.33%	-$2	-$2 * 83.33%	-$1.66

A co jsme tedy zjistili? EV je v tomto případě rovna 0. To znamená, že sázka není ani prodělečná, ani výdělečná. Pokud budeme sázet dostatečně dlouho, budeme stále na nule. Této očekávané hodnotě sázky se říká neutrální EV.

Pokud bychom náš příklad upravili tak, že v případě výhry dostaneme $12 a v případě prohry stále $2, vypadalo by to následovně.

Situace	Pravděpodobnost	Zisk/Ztráta	Pravděp. * částka
Výhra	1/6 = 16.66%	$12	$12 * 16.66%	$2.00
Prohra	5/6 = 83.33%	-$2	-$2 * 83.33%	-$1.66

V tuto chvíli je pro nás sázka velmi lákavá. Očekávaná hodnota sázky je vyšší než 0. Pokud budeme tedy opakovat hru několikrát, budeme postupně vydělávat. Tato očekávaná hodnota se značí jako kladná nebo pozitivní EV, neboli +EV.

Na poslední tabulce si ukážeme, jak by to vypadalo, kdybychom v případě hodu šestky dostali jen $6.

Situace	Pravděpodobnost	Zisk/Ztráta	Pravděp. * částka	EV
Výhra	1/6 = 16.66%	$6	$6 * 16.66%	$1.00
Prohra	5/6 = 83.33%	-$2	-$2 * 83.33%	-$1.66

Zde vidíme, jak vypadá záporné EV, značeno -EV. Pokud tedy přistoupíme na tuto sázku, budeme v dlouhodobém měřítku prodělávat.

Aplikace v praxi

Nyní již víme, co je to EV a jak ji vypočítat pro hod kostkou. Na následujícím příkladu si ukážeme, jak využít EV pro určení, zda naše sázky v pokeru jsou výdělečné nebo prodělečné.

Příklad: Jsme na turnu, držíme AsKs a na stole leží 8s5sJd2h. Jsme první, kdo se vyjadřuje, v potu je $100. Pro zjednodušení budeme brát situaci, kdy flush pro nás znamená výhru, bez flushe prohru. Tudíž naše šance jsou 18%  na výhru (9 outs x 2) a a 82% na prohru.

A nyní si ukažme tabulku, jak na tom budeme, když vsadíme $10, $22, $28 a $40 ($22 dle tabulky Hero, $28 dle tabulky Villain).

Pokud vsadíme částku uvedenou v prvním sloupečku následující tabulky a vyhrajeme, získáme pot + dorovnanou sázku od protihráče (pokud protihráč karty složí, vyhráli jsme rovnou). Pokud prohrajeme, přijdeme o náš raise uvedený ve třetím sloupečku. Další dva sloupečky ukazují hodnoty pro případnou prohru a výhru. Poslední sloupeček ukazuje kdy je sázka provedena správně, tedy je +EV, kdy špatně -EV a kdy je sázka neutrální.

Sázka	Zisk	Ztráta	Výhra	Prohra	EV
$10	$100+$10	-$10	$110 * 18% = $19.80	-$10 * 82% = -$8.2	+EV
$22	$100+$22	-$22	$122 * 18% = $21.96	-$22 * 82% = -$18.04	+EV
$28	$100+$28	-$28	$128 * 18% = $23.04	-$28 * 82% = -$22.96	EV0
$40	$100+$40	-$40	$140 * 18% = $25.20	-$40 * 82% = -$32.80	-EV

Jak jde vidět, když vsadíme nízkých $10, je +EV jelikož v případě prohry prohrajeme malou částku. Pokud vsadíme dle tabulky Hero, stále je sázka velmi bezpečná a dlouhodobě budeme vydělávat. Pokud vsadíme dle tabulky Villain, je sázka dlouhodobě neutrální (~$23). To znamená, že ani nevyděláme, ani neproděláme. Jedná se tedy o maximální možnou částku, kterou můžeme vsadit. Pokud vsadíme více než předchozí hodnoty, jsou naše sázky vyšší než možná výhra a dlouhodobě budeme prohrávat.

Závěr

V dnešním článku jsem se snažil ukázat další z možných přístupů k otestování vlastních sázek a jejich dlouhodobé ziskovosti. Jak jde vidět, vsázet vždy maximum pomocí Villain není úplně rozumné, jelikož dlouhodobě sice neproděláme, ale ani nevyděláme. Je proto dobré použít různé výše sázek pro různé situace (vyhnání hráče, motivování hráče ke hře, …).

V dalším článku pak ukáži aplikování výpočtu EV na předchozí Hero a Villain pot odds tabulky a jejich využití v různých situacích hry.

Úvod

Před nějakou dobou jsem popisoval, jak pomocí matematiky určit raise na protihráče. Když jsem tenkrát zkoušel nějaký matematický model na bet/raise vymyslet, bylo to zhruba po měsíci studia a zkoušení pokeru. Dnes jsem zhruba o měsíc dál, o nějakou tu knihu dále (*) a celá moje teorie je zas o něco přesnější a rozšířenější.

Dnes se tu pokusím popsat způsob, jakým momentálně určuji minimální a maximální částky pro bet/raise ve hrách. Předpokládám, že po nějakém čase to zase vylepším, ale teď je to to nejlepší, co mám ;-).

Shrnutí předchozích poznatků

Výsledkem původního článku byla tabulka, kde na jedné straně byly koeficienty, kterými je nutné vynásobit pot, a na straně druhé procenta, jakým bude čelit náš protihráč. Původně jsem výslednou tabulku bral jako konečné, univerzální řešení na určování částek. Tak jednoduché to ale bohužel není.

Výsledná tabulka z původního článku vypadala takto (**):

Vzoreček, který tuto tabulku reprezentuje je [math]coef = frac{frac{perc}{100}}{1-frac{2*perc}{100}}[/math].

Jak jde vidět ze vzorečku, při výpočtu počítáme nejen s naší sázkou, ale rovněž s jejím dorovnáním ze strany protihráče (proto ten dvojnásobek). Během práce na této tabulce jsem tenkrát měl ještě jednu, kterou jsem zpočátku považoval za zbytečnou. Tato tabulka je však druhou částí do skládanky správného určení raise.

Tabulka pro výpočet našich pot odds

Výpočet této druhé tabulky je velmi podobný té předchozí. Jediné, co se změní, je fakt, že pracujeme jen s naší vsazenou částkou bez ohledu na protihráče. Tabulka je tedy tvořena tímto vzorečkem [math]coef = frac{frac{perc}{100}}{1-frac{perc}{100}}[/math].

Způsob použití tabulky je stejný jako u tabulky první. Rozdíl je v tom, že nyní dostaneme pot-odds, které budeme mít po vsazení dané částky my bez ohledu na protihráče. Pokud tedy například chceme mít pot-odds 50%, vsadíme jednou tolik co je v potu (logické že 😉 ).

Způsob využití tabulek

Nyní máme zadefinované dvě tabulky pomáhající nám určit, jak vsadit. Nyní ukážu, jak je používám v jednotlivých situacích, které mohou nastat. V současnosti rozlišuji následující typy situací a podle nich volím dané koeficienty:

1. Nikdo přede mnou nevsadil a zatím nemám představu, co ostatní protihráči mají.
2. Nikdo přede mnou nevsadil, mám představu, co protihráči mají, a chci, aby hráli dál.
3. Nikdo přede mnou nevsadil, mám představu, co protihráči mají, a chci je dostat ze hry.
4. Přede mnou bylo již vsazeno a já chci udělat raise.

Před každým rozhodnutím je potřeba spočítat si outs a určit, jaká je pravděpodobnost na výhru dané hry. S touto pravděpodobností poté porovnáváme výsledný poměr banku získaný z jedné ze dvou tabulek.

Nikdo nevsadil a netuším, co mají.

V této situaci si nemohu být jistý, že moje předpokládaná šance na výhru je 100% správná. Pokud budu chtít hrát opatrně a ziskově, určím maximální výši mé sázky pomocí nově představené tabulky Hero pot odds a její velikost se bude rovnat pot x koeficient odpovídající pravděpodobnosti mé výhry. Zároveň ale mohu na určení své sázky použít i Villain pot odds tabulku. V tu chvíli bude výše mé sázky vyšší (i riziko případné ztráty) než v prvním případu, ale stále je sázka z dlouhodobého pohledu neztrátová. Opatrnější metodu používám v okamžiku, kdy o protihráčích ještě nic nevím, jsem na předních pozicích nebo chci maximalizovat zisk. Agresivnější pak v situacích, kdy chci ze hry vyhnat více lidí či působit více aggressive.

Nikdo nevsadil, mám představu, co mají, a chci, aby hráli dál.

V této situaci zvolím hodnotu, která bude v rozmezí hodnot z tabulku Hero pot odds a původní Villain pot odds tabulky. Na základě předpokladu protihráčových karet zvolím koeficient takový, abych mu jeho dorovnání udělal lákavé. Zároveň na sázce neprodělám, jelikož mám vyšší šanci na výhru, než on (případy, kdy on dorovná a prohraje, spolu s případy, kdy složí, jsou výdělečné oproti případům, kdy po jeho dorovnání hru vyhraje).

Nikdo nevsadil, mám představu, co mají, a nechci, aby hráli dál.

Způsob hry je podobný předchozí situaci. Tentokrát využiji  Villain pot odds tabulku. Rozdíl je v tom, že cílové navýšení zvolím tak, aby se soupeřovi dorovnání nevyplatilo, a tím ho ze hry vyženu. Pokud i tak dorovná, udělal chybu, která ho v dlouhodobém měřítku bude stát chipy, navíc mně se sázka z dlouhodobého pohledu stále vyplatila (případy, kdy dorovná a já vyhraji, plus případy kdy položí a já získám žetony).

Přede mnou již bylo vsazeno a já chci udělat raise.

V případě, že musím nejprve dorovnat, abych mohl dále sázet, využívám tabulku Hero pot odds, bez ohledu na to, jestli znám/neznám protihráčovy karty. Výjimkou je situace, kdy se chci pokusit někoho vyhnat ze hry a zároveň jsem si velmi jist svou kombinací. Pak využiji tabulku Villain pot odds. Důvod, proč využiji tabulku Hero místo Villain, je, že žádný z výpočtů ani v jedné tabulce nezohledňuje částku mého callu. Tím, že použiji tabulku Hero, která nepočítá s callem protihráče, alespoň zhruba rozmělním svůj call předchozího soupeřova navýšení (to, co mne stál call jeho sázky, bude následně pokryto dorovnáním mé sázky protihráčem). Konkrétně viz příklad níže.

Příklady použití

Příklad k BODU 1

Jsem ve hře na turnu. Mám flash draw, netuším, co mají protihráči, ani jak hrají. Chci udělat raise tak, abych navýšil pot a zároveň byl rais neprodělečný. Šance na flush je opět 18%, nic jiného v ruce nemám. Volím tedy dle tabulky Hero pot odds něco mezi 15% a 20%, tedy 0.2x násobek.

PŘÍKLAD K BODU 2

Další hra, jsem opět na turnu, mám dvojici a esové flash draw. U protihráče rovněž předpokládám flush draw, ale samozřejmě nižší. V tuto chvíli jsem vítězem a chci protihráče motivovat do banku vsadit co nejvíce peněz. On má na mne pozici, takže se ještě nevyjadřoval.

Šance protihráče na flush jsou 18% (9 outs x 2). Zvolím proto z tabulky Villain pot odds poměr 15%, abych mu jeho dorovnání nastavil výhodné. Dle tabulky tedy vsázím cca 0.25x násobek potu.

Příklad k bodu 3

Jiná hra, jsem opět na turnu, mám dvě dvojice a u protihráče předpokládám flush draw. V tuto chvíli jsem vítězem, pokud protihráč flush na riveru nedostane. On má na mne pozici, takže se ještě nevyjadřoval. Moje aktuální kombinace ho poráží a krom flush jsem vítězem.

Šance protihráče jsou 18%, že mu flush přijde (9 outs x 2). Zvolím proto z tabulky Villain pot odds poměr 25%, abych mu jeho dorovnání nastavil nevýhodné. Dle tabulky tedy vsázím 0.5x násobek potu.

PŘÍKLAD K BODU 4

V potu je $100, protihráč bet $30. Mám dobré karty a chci dát re-raise. Call mne stojí $30. V tuto chvíli použiji Hero tabulku namísto Villain. Mám flush draw na flopu, tudíž 36% (9 outs*4).  Pokud bych již nečelil betu, použil bych dle Villain tabulky koeficient 1.29x. Jelikož ale musím ještě dorovnat předchozí sázku, použiji jen Hero, tudíž 0.56x. Tímto krokem pokryje protihráčův call mého navýšení můj původní call protihráče ($160*0.56=$89 oproti $30 call). Díky tomu budou mé sázky dlouhodobě plusové.

Shrnutí

Nově představená tabulka nám pomáhá určit, jaké množství žetonů vsadit tak, aby byla hra dlouhodobě neprodělečná. Původní Villain tabulka nám naopak říká, jak vsázet tak, abychom protihráče udrželi nebo naopak se jich zbavili.

Každé z těchto čísel je potřeba dále zvážit a zohlednit i další okolnosti dané situace. Pokud je ve hře více hráčů, všechny naše bet / raise se v případě následného call protihráčů stávají výdělečnějšími.

Více o tom kdy a jak použít Hero nebo Villain tabulky rozepíšu v dalších dvou článcích o Expectation value a aplikaci Expectation value na tyto dvě tabulky.

To, co je zde popsané, je můj aktuální způsob, jak se snažím v každém kroku ve hře rozhodnout, zda a jak pokračovat. Je možné (a nejspíš i pravděpodobné), že časem tento postup ještě dále upravím či rozšířím. Stále si připadám (a samozřejmě také jsem) na začátku daleké výpravy ;-).

Nevýhody představeného řešení

• Spousta lidí (hlavně na začátku turnaje) si tato čísla nespočítá, takže musíte hodnotu sázky nastavit o něco více, aby je částka v případě potřeby zastrašila.
• Je potřeba si pamatovat alespoň základní koeficienty 25%,33%,40%,50% pro obě tabulky.
• Ne vždy lze se 100% jistotou určit co protihráči mají za karty a pak je celá matematika beztak jen odhad 😉

Výhody popsaného řešení

• Opět o něco přesnější a snazší rozhodování v různých situacích.
• Dlouhodobě méně zbytečně investovaných chipů.
• Díky těmto dvěma tabulkám lze vyhodnocovat i kroky protihráčů vůči vám, o tom více  někdy příště.

Poznámky

• (*) Momentálně pročítáme knihu od Owena Gainese – Poker Math That Matters. Tuto knihu určitě doporučuji všem, kdo se o Pokerovou matematiku alespoň trochu zajímá.
• (**) Jak pročítáme více a více literatury, zjišťujeme i ustálené fráze. Proto v tabulkách protihráči už nebudou Enemy, ale Villain (***) a my nebudeme PLR ale Hero.
• (***) Pojem Villain je z knihy od Owena Gainese (* 😉 ).

Přílohy

Během toho, co jsem na těchto tabulkách pracoval a ověřoval si, že jsou správně, vypočítal jsem i poměrně zajímavé hodnoty.

Tabulka a GRAF koeficientů vůči procentům HERO a VILLAIN

Tabulka a graf procent vůči koeficientům Hero a Villain

Nyní bych rád pokračoval v hledání odpovědi na triviálně vypadající otázku z nadpisu. Ti z Vás, kdo četli předchozí článek “Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA” už znají tři postupy, jak toto číslo správně nepočítat ;-). A nyní by se asi slušelo ukázat, jak správně na to.

Nejprve odpověď na otázku položenou na konci minulého článku, kde udělali soudruzi chybu. Nejdřív ale, co bylo správně. Správně jsme určili pravděpodobnost jednotlivých jevů, kdy nepřijde žádné, jedno, dvě, tři, nebo čtyři esa. Dobře byla i úvaha s variantami, které mohou nastat. Co ovšem bylo špatně, byla četnost těchto variant. Proto to celé ve výsledku nesedělo.

Jak jsem se dostal ke správnému výsledku

Když mi výpočet z minulého článku nevycházel, zkusil jsem na to jít odjinud. Jako první jsem si položil otázku, kolik vlastně celkem existuje možných kombinací rozložení es. Podle toho, co jsem měl spočítáno z minula, to vypadalo na nějakých 18 kombinací, kdy nikdo nemá dvě esa, a 34, že někdo dvě esa má. Zkusil jsem si tedy spočítat, kolik jich je dohromady.

Takto vypadá stůl před flopem pro 4 lidi:

1)?? 2)?? 3)?? 4)??

Máme 4 esa, která se mezi hráče mohou rozdat všechna, nebo jen tři, dvě, jedno, či žádné. Takže matematická úloha zní: kolika způsoby lze vybrat z osmi karetních pozic čtyři/tři/dvě/jednu/žádnou pozici pro eso. Zapsáno matematicky:
[math]dbinom{8}{4} + dbinom{8}{3} + dbinom{8}{2} + dbinom{8}{1} + dbinom{8}{0} = 70 + 56 + 26 + 8 + 1 = 163 [/math]

Takže 163, to je o dost více než předpokládaných 16 + 34. Kde je problém? Problém je, že eso můžeme jednomu hráči dát jako první A? a nebo jako druhou kartu?A. A to je to, co jsme minule nezohlednili. Takže nyní již víme, že máme 163 možných kombinací. Teď je potřeba rozdělit tento počet mezi ty, co znamenají dvě esa pro některého hráče, a ty, co znamenají maximálně jedno eso.

Nejprve kombinace, kdy nikdo nemá dvě esa

?? , ?? , ?? , ?? – žádné eso ve hře
A? , ?? , ?? , ?? – jedno eso ve hře
A? , A? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
A? , A? , A? , ?? – tři eso ve hře
A? , A? , A? , A? – čtyři esa ve hře

A teď kombinace, kdy alespoň jeden člověk dvě esa má
AA , ?? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
AA , A? , ?? , ?? – tři esa ve hře
AA , A? , A? , ?? – čtyři esa ve hře
AA , AA , ?? , ?? – čtyři esa ve hře

Teď musíme určit, kolika způsoby lze výše uvedené kombinace sestavit.

Kombinace, kdy nikdo z hráčů nemá dvě esa
?? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{0} = 1[/math]
Vybíráme z osmi přihrádek žádnou. To lze udělat jen jedním možným způsobem.

A? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{1} = 8[/math].
Vybíráme z osmi přihrádek jednu, do které eso umístíme.

A? , A? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{2}-dbinom{4}{1} = 24 [/math]
Tady to již začíná být trochu komplikované. Nejprve spočítáme, kolika způsoby lze rozdělit 2 karty mezi 8 přihrádek. Pak od tohoto musíme odečíst případy, kdy jsou dvě esa u jednoho člověka.

A? , A? , A? , ?? [math]dbinom{8}{3}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1}) = 32 [/math]
A při třech esech je to ještě trošku složitější. Stejně jako v předchozím nejprve spočítáme všechna rozložení tři es mezi osm pozic. Pak ale odečteme ty případy, kdy má někdo esa dvě. Dvě esa jakou v předchozím případu může mít jen jeden ze 4 lidí, k tomu ale musíme do zbývajících šesti pozic umístit jedno zbývající eso.

AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{8}{4}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2}) = 10 [/math]
Postup opět stejný jako v předchozích dvou krocích. Všechny kombinace mínus ty, kde jsou dvě esa. To nyní znamená jeden člověk a do zbývajících šesti přihrádkách rozdělíme 2 zbývající esa.

Tím máme vyjádřené počty možností pro situace, kdy eso nikdo nemá. Pro vypočítání výsledku by nám to za normální situace již stačilo. Ja však budu pokračovat i s případy, kdy dvě esa někdo dostane. A to proto, abych pak mohl součtem ověřit, že dostanu jak oněch požadovaných 163 kombinací, tak že mi výsledná pravděpodobnost vyjde 100%.

Kombinace, kdy alespoň jeden z hráčů má dvě esa
AA , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1} = 4[/math]
Jednoduchá situace, kdy dáváme pár es mezi čtyři lidi.

AA , A? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1} = 24[/math]
Dáme pár es jednomu že čtyř lidí a třetí eso dáme do jedné ze šesti volných pozic.

AA , A? , A? , ??
AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2} = 60[/math]
Tyto dvě kombinace můžeme počítat dohromady. Nejprve dáme pár es jednomu ze čtyř lidí a pak rozdělíme zbylá dvě esa mezi šest přihrádek.

Nyní je pro ověření sečteme. Dostáváme tedy [math]1+8+24+32+10 + 4+24+60 = 163[/math]. Vypadá to tedy, že už jdeme skutečně správnou cestou 😉

Jak si můžete všimnout, vyjádřit kombinace, kdy někdo esa má je mnohem snazší než matematicky popsat situaci, kdy esa nikdo nemá. Když jsem se v původním článku snažil tuto pravděpodobnost vypočítat, předpokládal jsem, že to bude přesně naopak a výpočet vedl právě přes vyčíslování situace, kdy esa nepřijdou. Občas je dobré zkusit si rozepsat situace obě, aby člověk viděl, kudy je to snazší, a hlavě aby si mohl ověřit, že po sečtení obou částí vyjde 100% celek.

Pravděpodobnost jednotlivých kombinací

Když už máme rozložení jednotlivých jevů, potřebujeme pravděpodobnost těchto jevů. Tu jsme si spočítali již v minulém článku a ta byla určená správně. Zde jen pro zopakování shrnu (opět předpokládáme, že karty počítáme pro 4 protihráče a svoje již známe).

Máme tedy 5 možných situací:

– žádné eso [math]frac{46*45*44*43*42*41*40*39}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.486[/math]
– jedno eso [math]frac{4*46*45*44*43*42*41*40}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.0498[/math]
– dvě esa [math]frac{4*3*46*45*44*43*42*41}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.0037[/math]
– tři esa [math]frac{4*3*2*46*45*44*43*42}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.00018[/math]
– čtyři esa [math]frac{4*3*2*1*46*45*44*43}{50*49*48*47*46*45*44*43} = 0.00000434[/math]

Nyní vynásobíme pravděpodobnosti jednotlivých situací s počtem možných kombinací dané situace. Zde je tabulka s roznásobením:

Sloupečky 0A-4A znamenají počet es, které jsou ve hře. První dva řádky tabulky jsou horní/dolní část kombinatorického čísla, třetí je pak hodnota tohoto čísla. Další tři rádky jsou pak počty kombinací, které lze z daného počtu es sestavit tak, aby nikdo neměl dvě esa, měl dvě esa a celkem. Poslední tři řádky jsou pak vynásobení počtu variant počtem kombinací.

V pravé části jsou pak součty hodnot z levé části tabulky. Pro kontrolu tedy vidíme, že je 75 kombinací, kdy nikdo dvě esa nemá, 88 že esa má a 163 celkem. A nakonec zeleně je zvýrazněn výsledek naší úlohy. Pravděpodobnost, že někdo má dvě esa při hře čtyř hráčů, je 1,96%.

Závěr

Jak jde vidět, spočítat pravděpodobnost pro čtyři lidi pro dvě esa už není žádná legrace. Na začátku minulého článku jsem slíbil, že ukážu jak je to s pravděpodobností v devíti lidech. Nakonec si to nechám ještě do dalšího článku, jelikož i tento je již dlouhý dost. Co se týče přidání více kombinací než es, složitost příkladu by neúměrně stoupla. Pokud bychom přidali ještě dva krále, bylo by potřeba pro každého člověka zohlednit, kdy nedostal ani eso, ani krále, kdy dostal jen eso, kdy dostal jen krále a kdy dostal obojí.

Jelikož ale i mne samotného zajímá, jak by to bylo s rostoucím počtem lidí a možných kombinací, další článek při variabilním počtu lidí a kombinací karet zkusím vyčíslit pomocí metody Monte Carlo. Na to již bude potřeba trochu výpočetní síly a trocha programování. Na druhou stranu tím půjde dělat řada dalších zajímavých srovnání. O tom ale zase až příště.