Browsed by
Category: Poker

Porovnání pravděpodobnosti banku a sestavení kombinace

Porovnání pravděpodobnosti banku a sestavení kombinace

Comments 0 Comment

Jakmile máme spočítaný poměr pravděpodobnosti banku a pravděpodobnosti kombinace, je potřeba je porovnat.

Pokud je pravděpodobnost vytvoření kombinace vyšší než pravděpodobnost banku, hrajte. V opačném případě složte. Pokud to uděláte opačně, budete dlouhodobě prodělávat.

Příklad

Pravděpodobnost banku je 1:5, pravděpodobnost kombinace je 1:2. Porovnáváme tedy 1:5 (tj 1/6 == 16%) a 1:2 ( tj 1/3 == 33%).

Tyto čísla lze interpretovat následovně: pokud každou šestou hru vyhrajeme, jsme na 0$. A zároveň dle pravděpodobnosti kombinace víme, že vyhrajeme každou třetí hru.

Šance na kombinaci je tedy vyšši, konkrétně dvakrát. To znamená, že v dlouhodobém měřítku budeme vyhrávat dvojnásobek částky do hry vkládané. Následující příklad ukazuje, že v našem případě každou  šestou hru budeme v banku mít o 30$ více:

Šance banku (pot odds)

Šance banku (pot odds)

Comments 0 Comment

Číslo určuje poměr mezi výší sázky a velikosti banku (včetě vsazené částky). Různé zdroje uvádí různé způsoby, jak tento poměr vyjádřit. Správné způsoby jsou dva, bohužel některé zdroje je mezi sebou zaměňují, čímž do všeho vnášejí dost nejasností.

Pravděpodobnost versus Šance

Pravděpodobnost

je číslo, které udává poměr mezi požadovaným stavem ku všem možným stavům. Správný zápis pravděpodobnosti je 1/3. Toto číslo znamená, že máte 1/3, tj. 33% šanci, že v dané situaci uspějete.

Šance – odds

je číslo, které udává poměr mezi požadovaným stavem ku nežádoucímu stavu. Správný zápis šance je 1:2. Toto číslo má stejný význam jako v předchozím příkladu. Tj 1:2 je 33%.

Převod mezi pravděpodobností a šancí

Převod je vcelku triviální, viz následující rovnosti:

[math] frac{1}{3} == 0.33 == 33% [/math]

 

[math] 1:2 == frac{1}{3} : frac {2}{3} == 0.33 : 0.66 == 33% : 66% [/math]

 

[math] a:b == frac{a}{a+b} : frac {b}{a+b} [/math]

 

Konkrétní příklad

Pokud například dorovnáváme 5$ do 25$ banku, pot odds (šance banku) jsou 5:25. Poměr sázky ku banku (pravděpodobnost) je 5/30 == 1/6 == 0.16667 což je 16,6%.

To pro nás znamená, že musíme vyhrát alespoň jednu z šesti her, abychom při dané sázce dlouhodobě neprodělávali.  (5x prohrajeme = ztráta 25$, pak jednou vyhrajeme 30$. (30$ výhra) – (5$ poslední hra) – (25$ celkem prohry) = 0).

Počítání pravděpodobnosti sestavované kombinace

Počítání pravděpodobnosti sestavované kombinace

Comments 0 Comment

Fakta

52 karet, 2 karty v ruce. 0, 3, 4, 5 karet na stole. 13 karet od každé barvy. Karty v rukou protihráčů se počítají, jako by byly v balíčku, pokud si nejsme na 100% jisti, že víme co v ruce mají.

Zjednodušený výpočet

Pokud počítáme pravděpodobnost před turnem, vezmeme “outs”(viz poznámka) a vynásobíme je čtyřmi. Pokud již jsme na turnu a počítáme jen river, vynásobíme číslo dvěma. Některé zdroje uvádí k číslům přičítat / odčítat různé konstanty od jedné do čtyř, ale přesnosti to spíše ubíra. Viz tabulka na konci.

  • pro turn vynásobit outs x 4
  • pro river vynásobit outs x 2

Přesný výpočet

  • výpočet pro turn je [math]1-(frac{47-outs}{47}*frac{46-outs}{46})[/math]
  • výpočet pro river [math]1-(frac{46-outs}{46})[/math]

Pravděpodobnost “padne na turnu nebo na riveru” spočítáme tak, že zjistíme pravděpodobnost jevu “padne libovolná karta kterou nechceme následovaná druhou libovolnou kartou kterou nechceme”. Vzoreček: [math]1-(frac{nechtenych}{zbyvajicich}*frac{nechtenychDruhyTah}{zbyvajicichDruhuTah})[/math].

Pokud bychom výsledek nepočítali jako doplňkový jen v k jevu “nepřijde ani v jednom tahu”, museli bychom zohlednit tři situace: přijde v prvním, přijde v druhém, přijde v prvním i druhém. Proto je snazší počítat s jevem, kdy nepřijde vůbec.

První tah Druhý tah Výsledek
NE NE NE
NE ANO ANO
ANO NE ANO
ANO ANO ANO

Tabulka pravděpodobností

Nyní již víme jak pravděpodobnost vypočítat a stačí do vzorečku dosadit požadované outs. Zde je tabulka pro outs 1 až 20.

počet outs pravděpodobnost turn+river pravděpodobnost river
1 4,3 % 2,2 %
2 8,4 % 4,3 %
3 12,5 % 6,5 %
4 16,5 % 8,7 %
5 20,4 % 10,9 %
6 24,1 % 13,0 %
7 27,8 % 15,2 %
8 31,5 % 17,4 %
9 35,0 % 19,6 %
10 38,4 % 21,7 %
11 41,7 % 23,9 %
12 45,0 % 26,1 %
13 48,1 % 28,3 %
14 51,2 % 30,4 %
15 54,1 % 32,6 %
16 57,0 % 34,8 %
17 59,8 % 37,0 %
18 62,4 % 39,1 %
19 65,0 % 41,3 %
20 67,5 % 43,5 %

Komplexní tabulka pravděpodobností

Nyní již víme, jak spočítat pravděpodobnosti při daných outs přesně. Můžeme tedy ještě zjistit, jak přesné jsou pomocné násobky 2x a 4x. Níže je k dispozici screenshot tabulky z Excelu, kde jsou vypočítané pravděpodobnosti pro outs pro turn i river, levá část ukazuje výpočet pomocí přesné metody, pak pomocí pomocné metody násobku a několika dalších doporučovaných metod, kdy přičítáte / odčítáte různé konstanty. Jak je vidět v pravé části tabulky, je odchylka vesměs stále stejná a proto můžeme klidně používat jen jednoduchý způsob 2x a 4x.

Poznámky

Outs – Počet karet, které člověk potřebuje na poskládání požadované kombinace.

  • pokud skládáme 2 a více kombinací, každá karta se počítá v “outs” jen jednou
  • pokud karta pomůže i protihráči, do “outs” se nezapočítává

Cizí články

http://www.mujpoker.cz/poker-blog/221/pokerova-matematika-pocitani-outs

http://www.poker24.cz/poker-skola/1331/poker-skola-8-dil-pot-odds-aneb-pokerova-matematika

Téma Poker

Téma Poker

Comments 0 Comment


Jak už jsme psali v minulém článku, rozhodli jsme se začít psát i o jiných tématech, než těch amerických. Jedna z těchto oblastí bude Poker.

K Pokeru jsme se dostali asi jako většina skrze naše kamarády. Občas jsme se potkali, zahráli si a zase se rozešli. Žádná teoretická příprava, žádné velké počty, prostě jen karty. Za poslední rok a půl jsme se ale u Pokeru nepotkali vůbec a skoro jsme na něj zapomněli.

Před asi třemi týdny jsem byl dobrovolně-nedobrovolně v nákupním centru jakožto řidič mé drahé polovičky, která tam jak jinak než na nákupy. Během čekání jsem skončil v tamním knihkupectví, kde je i kavárna a člověk tam může posedět a knížky si v klidu prolistovat. Úplnou náhodou jsem našel pár knížek o Pokeru a ze zvědavosti si je vzal ke stolu.

A tím to všechno zase začalo. Jako první se mi do rukou dostala knížka od Guse Hansena: Hra za hrou. V této knize popisuje všechny hry z jednoho svého velkého turnaje a zároveň rozebírá, co, jak a proč hrál. Už prvních pár stránek mne zaujalo tím, kolik bylo ve hře logiky a strategie a že to není jen o tom blufování, které jsme se s kamarády u našeho pokerového stolu snažili ne příliš povedeně napodobovat :).

Druhou knížkou byla No limit Hold’em Poker – Teorie a Praxe od Davida Sklanskeho a Eda Millera. Tato knížka už na prvních stránkách matematicky ukazuje, jak se dá spousta věcí ve hře odhadnout a přečíst díky pravděpodobnostem, výši sázek protihráčů a řadě dalších ukazatelů.

V knihkupectví jsem nakonec strávil dvě hodiny, pročetl z každé knížky několik prvních kapitol a nakonec i obě koupil. Za pár dní pak následovala ještě koupě třetí knížky, a to první část z třídílného Harrington on HOLD’EM, kterou mnozí autoři označují za bibli pokerových hráčů.

Vybaveni zásobou literatury, začali jsme se oba prokousávat knížkami i řadou internetových zdrojů. Už po týdnu nám bylo jasné, že poker je mnohem složitější než jsme si dokázali představit a že bude potřeba oprášit naše již dávno zapomenuté znalosti o pravděpodobnosti.

Každý dostupný zdroj má na danou problematiku svůj pohled, každý využívá jiných zápisů (pravděpodobnost versus šance) a každý vysvětluje jen část z celého problému. Každá kapitola knížky nakonec končí naší diskuzí, tužkou a papírem, kde se snažíme dopátrat proč autor pouze suše konstatuje některá tvrzení zrovna tak a tak. Občas je to boj, ale tím že si člověk všechno spočítá a odvodí, v dané problematice se začne mnohem lépe orientovat.

A jak jsme do všech těch kouzel začínali pomalu pronikat, přišel i nápad začít naše nově nabyté pokerové znalosti a matematické výpočty přepisovat i někam na blog, abychom je měli k dispozici, kdykoli si budeme chtít zpětně něco dohledat nebo ověřit. Začali jsme tedy sepisovat naše poznatky a když jsme zjistili, že nás Poker v tomto novém světle baví i po 3-4 týdnech, rozhodli jsme se tyto příspěvky zveřejnit.

V současnosti máme připraveno několik článků, kde ukazujeme, jak si vypočítat nějakou konkrétní situaci, nebo jak si co přepočítat na procenta. Všechno, co budeme v článcích o Pokeru prezentovat, jsou čistě naše soukromé výpočty založené na našich aktuálních vědomostech. Je možné, že občas něco nazveme nesprávným jménem, že některé výpočty nebudou úplně správné nebo přesné, možná budou dokonce i špatně. Berte proto vše s rezervou a vše si raději sami zkontrolujte. Pokud budete vědět, jak něco vyřešit lépe či snadněji, určitě se rádi poučíme.

Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA – pokernews

Jaká je pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA – pokernews

Comments 0 Comment

Cílem dnešního článku bude ukázat, jak vypočítat pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA. Narozdíl od relativně jednoduchých a přímočarých výpočtů ukázaných v minulých dílech je řešení tohoto problému již o něco komplikovanější. Pro zjednodušení ukázky budeme počítat pravděpodobnost pro 4 hráče u stolu.

Zadání úlohy

Zadání dnešní úlohy tedy zní: Před flopem jsou 4 hráči. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich drží v ruce dvě esa.

Postup řešení

Jako první je potřeba odpovědět na otázku, kolik existuje celkem možných kombinací rozložení es. V dalším textu článku budou uvedeny nejen situace, které vyhovují našemu jevu, ale také ty, které do našeho jevu nespadají (tzn. nikdo z hráčů nemá dvě esa) .

Díky tomu se budeme moci v průběhu dalších výpočtu rozhodnout, zda budeme počítat pravděpodobnost jevu “alespoň jeden hráč u stolu má dvě esa”, případně spočítáme pro náš jev jeho doplněk “žádný z hráčů nemá dvě esa” a z něj určíme pravděpodobnost jevu, který hledáme. Kdykoli počítáte nějaký takto složitější jev, je dobré si zkontrolovat, zda náhodou doplňkový jev nepůjde spočítat mnohem snáze a z něj pak odvodit pravděpodobnost jevu počítaného.

Všechna možná rozložení

Takto vypadá stůl před flopem pro 4 lidi:

1)?? 2)?? 3)?? 4)??

Máme 4 esa, která se mezi hráče mohou rozdat všechna, nebo jen tři, dvě, jedno, či žádné. Takže matematická úloha zní: kolika způsoby lze vybrat z osmi karetních pozic čtyři/tři/dvě/jednu/žádnou pozici pro eso. Zapsáno matematicky:
[math]dbinom{8}{4} + dbinom{8}{3} + dbinom{8}{2} + dbinom{8}{1} + dbinom{8}{0} = 70 + 56 + 26 + 8 + 1 = 163 [/math]

Celkem tedy 163 možných kombinací. Zde bych jen rád poukázal na důležitost použití správné kombinatorické funkce. Je potřeba použít právě tento výpočet, jelikož pro určení všech možných kombinací je potřeba zohlednit také pořadí, ve kterém karty hráč dostal. Důvodem je, že eso můžeme jednomu hráči dát jako první A? a nebo jako druhou kartu?A.

Takže nyní již víme, že máme 163 možných kombinací. Dále je potřeba rozdělit všechny tyto kombinace do dvou skupin. První skupina obsahuje ty, kdy alespoň jeden hráč má právě dvě esa, druhá pak takové situace, kdy kterýkoli hráč má maximálně jedno eso.

Nejprve kombinace, kdy nikdo nemá dvě esa

?? , ?? , ?? , ?? – žádné eso ve hře
A? , ?? , ?? , ?? – jedno eso ve hře
A? , A? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
A? , A? , A? , ?? – tři eso ve hře
A? , A? , A? , A? – čtyři esa ve hře

A teď kombinace, kdy alespoň jeden člověk dvě esa má
AA , ?? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
AA , A? , ?? , ?? – tři esa ve hře
AA , A? , A? , ?? – čtyři esa ve hře
AA , AA , ?? , ?? – čtyři esa ve hře

Teď musíme určit, kolika způsoby lze výše uvedené kombinace sestavit.

Kombinace, kdy nikdo z hráčů nemá dvě esa
?? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{0} = 1[/math]
Vybíráme z osmi přihrádek žádnou. To lze udělat jen jedním možným způsobem.

A? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{1} = 8[/math].
Vybíráme z osmi přihrádek jednu, do které eso umístíme.

A? , A? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{2}-dbinom{4}{1} = 24 [/math]
Tady to již začíná být trochu komplikované. Nejprve spočítáme, kolika způsoby lze rozdělit 2 karty mezi 8 přihrádek. Pak od tohoto musíme odečíst případy, kdy jsou dvě esa u jednoho člověka.

A? , A? , A? , ?? [math]dbinom{8}{3}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1}) = 32 [/math]
A při třech esech je to ještě trošku složitější. Stejně jako v předchozím případě nejprve spočítáme všechna rozložení tři es mezi osm pozic. Pak ale odečteme ty případy, kdy má někdo esa dvě. Dvě esa jako v předchozím případu může mít jen jeden ze čtyž lidí, k tomu ale musíme do zbývajících šesti pozic umístit jedno zbývající eso.

AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{8}{4}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2}) = 10 [/math]
Postup opět stejný jako v předchozích dvou krocích. Všechny kombinace mínus ty, kde jsou dvě esa. To nyní znamená jeden člověk a do zbývajících šesti přihrádkách rozdělíme 2 zbývající esa.

Tím máme vyjádřené počty možností pro situace, kdy eso nikdo nemá. Pro vypočítání výsledku by nám to za normální situace již stačilo. Jak jsem již ale předeslal na začátku, je lepší si určit početnost a pravděpodobnost obou skupin. Jednak se mohu rozhodnout, která cesta pro další výpočet je snazší a také kvůli kontrole. Po sečtení pravděpodobností obou jevů dostanete oněch požadovaných 163 způsobů sestavení kombinací, jejichž součet se musí rovnat 100%.

Kombinace, kdy alespoň jeden z hráčů má dvě esa

AA , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1} = 4[/math]
Jednoduchá situace, kdy dáváme pár es mezi čtyři lidi.

AA , A? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1} = 24[/math]
Dáme pár es jednomu že čtyř lidí a třetí eso dáme do jedné ze šesti volných pozic.

AA , A? , A? , ??
AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2} = 60[/math]
Tyto dvě kombinace můžeme počítat dohromady. Nejprve dáme pár es jednomu ze čtyř lidí a pak rozdělíme zbylá dvě esa mezi šest přihrádek.

Nyní je pro ověření sečteme. Dostáváme tedy [math]1+8+24+32+10 + 4+24+60 = 163[/math].

Jak si můžete všimnout, vyjádřit kombinace, kdy někdo esa má je mnohem snazší než matematicky popsat situaci, kdy esa nikdo nemá. V tomto případě bychom tedy ušetřili čas tím, že bychom se hned na začátku vydali cestou, kdy esa někdo má. Jsou ovšem situace, kdy je to přesně naopak. A tím, že si nejprve promyslíte, která cesta je kratší, si můžete ušetřit spoustu psaní a počítání ;-).

Na druhou stranu pokud si nejste jisti, zda výpočet vedete správnou cestou, stejně si raději spočítejte obě situace. Máte tak na závěr alespoň jistotu, že když je součet 100%, postupovali jste správně

Pravděpodobnost jednotlivých kombinací

Když už máme rozložení jednotlivých jevů, potřebujeme spočítat pravděpodobnost těchto jevů. Tu jsme si spočítali již v minulém článku a ta byla určená správně. Zde jen pro zopakování shrnu (opět předpokládáme, že karty počítáme pro 4 protihráče a svoje již známe).

Máme tedy 5 možných situací:

Pravděpodobnost, že nikdo nedostal ani jedno eso

[math]frac{46*45}{50*49}*frac{44*43}{48*47}*frac{42*41}{46*45}*frac{40*39}{44*43} = 0.486[/math]

Pravděpodobnost, že někomu přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{45*44}{48*47}*frac{43*42}{46*45}*frac{41*40}{44*43} = 0.0498[/math]

Pravděpodobnost, že dvěma lidem přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{44*43}{46*45}*frac{42*41}{44*43} = 0.0037[/math]

Pravděpodobnost, že třem lidem přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{2*44}{46*45}*frac{43*42}{44*43} = 0.00018[/math]

Pravděpodobnost, že čtyřem lidem přišlo jedno eso

[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{2*44}{46*45}*frac{1*43}{44*43} = 0.00000434[/math]

Nyní vynásobíme pravděpodobnosti jednotlivých situací s počtem možných kombinací dané situace. Zde je tabulka s roznásobením:

Sloupečky 0A-4A znamenají počet es, které jsou ve hře. První dva řádky tabulky jsou horní/dolní část kombinatorického čísla, třetí je pak hodnota tohoto čísla. Další tři řádky jsou pak počty kombinací, které lze z daného počtu es sestavit tak, aby nikdo neměl dvě esa, měl dvě esa a celkový počet těchto situací. Poslední tři řádky jsou pak vynásobení počtu variant počtem kombinací.

V pravé části jsou pak součty hodnot z levé části tabulky. Pro kontrolu tedy vidíme, že je 75 způsobů sestavení kombinací, kdy nikdo dvě esa nemá, 88 že esa má, což je 163 celkem. A nakonec zeleně je zvýrazněn výsledek naší úlohy. Pravděpodobnost, že někdo má dvě esa při hře čtyř hráčů, je 1,96%.

Závěr

Jak je vidět v celém článku, spočítat pravděpodobnost pro čtyři lidi už není vůbec triviální. Pokud bychom chtěli přidat více lidí, nebo dokonce více typů kombinací než jen dvě esa, celý příklad se ještě více zesložití (Pokud bychom například přidali ještě dva krále, bylo by potřeba pro každého člověka zohlednit, kdy nedostal ani eso, ani krále, kdy dostal jen eso, kdy dostal jen krále a kdy dostal obojí).

Poznámka na závěr

Celý tento článek se zabývá správným postupem, jak dosáhnout požadovaného výsledku. V původním článku na mém blogu doameriky.com jsem se zabýval také ukázáním nesprávných úvah a postupů. Bohužel by článek byl již příliš dlouhý, proto je zde na POKERnews publikována jen část. Pokud by někoho zajímalo, jak správně nepostupovat, a jak může špatná úvaha změnit úplně směr výpočtu, podívejte se prosím na tento článek.