Cílem dnešního článku bude ukázat, jak vypočítat pravděpodobnost, že někdo u stolu drží AA. Narozdíl od relativně jednoduchých a přímočarých výpočtů ukázaných v minulých dílech je řešení tohoto problému již o něco komplikovanější. Pro zjednodušení ukázky budeme počítat pravděpodobnost pro 4 hráče u stolu.
Zadání úlohy
Zadání dnešní úlohy tedy zní: Před flopem jsou 4 hráči. Jaká je pravděpodobnost, že alespoň jeden z nich drží v ruce dvě esa.
Postup řešení
Jako první je potřeba odpovědět na otázku, kolik existuje celkem možných kombinací rozložení es. V dalším textu článku budou uvedeny nejen situace, které vyhovují našemu jevu, ale také ty, které do našeho jevu nespadají (tzn. nikdo z hráčů nemá dvě esa) .
Díky tomu se budeme moci v průběhu dalších výpočtu rozhodnout, zda budeme počítat pravděpodobnost jevu “alespoň jeden hráč u stolu má dvě esa”, případně spočítáme pro náš jev jeho doplněk “žádný z hráčů nemá dvě esa” a z něj určíme pravděpodobnost jevu, který hledáme. Kdykoli počítáte nějaký takto složitější jev, je dobré si zkontrolovat, zda náhodou doplňkový jev nepůjde spočítat mnohem snáze a z něj pak odvodit pravděpodobnost jevu počítaného.
Všechna možná rozložení
Takto vypadá stůl před flopem pro 4 lidi:
1)?? 2)?? 3)?? 4)??
Máme 4 esa, která se mezi hráče mohou rozdat všechna, nebo jen tři, dvě, jedno, či žádné. Takže matematická úloha zní: kolika způsoby lze vybrat z osmi karetních pozic čtyři/tři/dvě/jednu/žádnou pozici pro eso. Zapsáno matematicky:
[math]dbinom{8}{4} + dbinom{8}{3} + dbinom{8}{2} + dbinom{8}{1} + dbinom{8}{0} = 70 + 56 + 26 + 8 + 1 = 163 [/math]
Celkem tedy 163 možných kombinací. Zde bych jen rád poukázal na důležitost použití správné kombinatorické funkce. Je potřeba použít právě tento výpočet, jelikož pro určení všech možných kombinací je potřeba zohlednit také pořadí, ve kterém karty hráč dostal. Důvodem je, že eso můžeme jednomu hráči dát jako první A? a nebo jako druhou kartu?A.
Takže nyní již víme, že máme 163 možných kombinací. Dále je potřeba rozdělit všechny tyto kombinace do dvou skupin. První skupina obsahuje ty, kdy alespoň jeden hráč má právě dvě esa, druhá pak takové situace, kdy kterýkoli hráč má maximálně jedno eso.
Nejprve kombinace, kdy nikdo nemá dvě esa
?? , ?? , ?? , ?? – žádné eso ve hře
A? , ?? , ?? , ?? – jedno eso ve hře
A? , A? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
A? , A? , A? , ?? – tři eso ve hře
A? , A? , A? , A? – čtyři esa ve hře
A teď kombinace, kdy alespoň jeden člověk dvě esa má
AA , ?? , ?? , ?? – dvě esa ve hře
AA , A? , ?? , ?? – tři esa ve hře
AA , A? , A? , ?? – čtyři esa ve hře
AA , AA , ?? , ?? – čtyři esa ve hře
Teď musíme určit, kolika způsoby lze výše uvedené kombinace sestavit.
Kombinace, kdy nikdo z hráčů nemá dvě esa
?? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{0} = 1[/math]
Vybíráme z osmi přihrádek žádnou. To lze udělat jen jedním možným způsobem.
A? , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{1} = 8[/math].
Vybíráme z osmi přihrádek jednu, do které eso umístíme.
A? , A? , ?? , ?? [math]dbinom{8}{2}-dbinom{4}{1} = 24 [/math]
Tady to již začíná být trochu komplikované. Nejprve spočítáme, kolika způsoby lze rozdělit 2 karty mezi 8 přihrádek. Pak od tohoto musíme odečíst případy, kdy jsou dvě esa u jednoho člověka.
A? , A? , A? , ?? [math]dbinom{8}{3}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1}) = 32 [/math]
A při třech esech je to ještě trošku složitější. Stejně jako v předchozím případě nejprve spočítáme všechna rozložení tři es mezi osm pozic. Pak ale odečteme ty případy, kdy má někdo esa dvě. Dvě esa jako v předchozím případu může mít jen jeden ze čtyž lidí, k tomu ale musíme do zbývajících šesti pozic umístit jedno zbývající eso.
AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{8}{4}-(dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2}) = 10 [/math]
Postup opět stejný jako v předchozích dvou krocích. Všechny kombinace mínus ty, kde jsou dvě esa. To nyní znamená jeden člověk a do zbývajících šesti přihrádkách rozdělíme 2 zbývající esa.
Tím máme vyjádřené počty možností pro situace, kdy eso nikdo nemá. Pro vypočítání výsledku by nám to za normální situace již stačilo. Jak jsem již ale předeslal na začátku, je lepší si určit početnost a pravděpodobnost obou skupin. Jednak se mohu rozhodnout, která cesta pro další výpočet je snazší a také kvůli kontrole. Po sečtení pravděpodobností obou jevů dostanete oněch požadovaných 163 způsobů sestavení kombinací, jejichž součet se musí rovnat 100%.
Kombinace, kdy alespoň jeden z hráčů má dvě esa
AA , ?? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1} = 4[/math]
Jednoduchá situace, kdy dáváme pár es mezi čtyři lidi.
AA , A? , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{1} = 24[/math]
Dáme pár es jednomu že čtyř lidí a třetí eso dáme do jedné ze šesti volných pozic.
AA , A? , A? , ??
AA , AA , ?? , ?? [math]dbinom{4}{1}*dbinom{6}{2} = 60[/math]
Tyto dvě kombinace můžeme počítat dohromady. Nejprve dáme pár es jednomu ze čtyř lidí a pak rozdělíme zbylá dvě esa mezi šest přihrádek.
Nyní je pro ověření sečteme. Dostáváme tedy [math]1+8+24+32+10 + 4+24+60 = 163[/math].
Jak si můžete všimnout, vyjádřit kombinace, kdy někdo esa má je mnohem snazší než matematicky popsat situaci, kdy esa nikdo nemá. V tomto případě bychom tedy ušetřili čas tím, že bychom se hned na začátku vydali cestou, kdy esa někdo má. Jsou ovšem situace, kdy je to přesně naopak. A tím, že si nejprve promyslíte, která cesta je kratší, si můžete ušetřit spoustu psaní a počítání ;-).
Na druhou stranu pokud si nejste jisti, zda výpočet vedete správnou cestou, stejně si raději spočítejte obě situace. Máte tak na závěr alespoň jistotu, že když je součet 100%, postupovali jste správně
Pravděpodobnost jednotlivých kombinací
Když už máme rozložení jednotlivých jevů, potřebujeme spočítat pravděpodobnost těchto jevů. Tu jsme si spočítali již v minulém článku a ta byla určená správně. Zde jen pro zopakování shrnu (opět předpokládáme, že karty počítáme pro 4 protihráče a svoje již známe).
Máme tedy 5 možných situací:
Pravděpodobnost, že nikdo nedostal ani jedno eso
[math]frac{46*45}{50*49}*frac{44*43}{48*47}*frac{42*41}{46*45}*frac{40*39}{44*43} = 0.486[/math]
Pravděpodobnost, že někomu přišlo jedno eso
[math]frac{4*46}{50*49}*frac{45*44}{48*47}*frac{43*42}{46*45}*frac{41*40}{44*43} = 0.0498[/math]
Pravděpodobnost, že dvěma lidem přišlo jedno eso
[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{44*43}{46*45}*frac{42*41}{44*43} = 0.0037[/math]
Pravděpodobnost, že třem lidem přišlo jedno eso
[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{2*44}{46*45}*frac{43*42}{44*43} = 0.00018[/math]
Pravděpodobnost, že čtyřem lidem přišlo jedno eso
[math]frac{4*46}{50*49}*frac{3*45}{48*47}*frac{2*44}{46*45}*frac{1*43}{44*43} = 0.00000434[/math]
Nyní vynásobíme pravděpodobnosti jednotlivých situací s počtem možných kombinací dané situace. Zde je tabulka s roznásobením:
Sloupečky 0A-4A znamenají počet es, které jsou ve hře. První dva řádky tabulky jsou horní/dolní část kombinatorického čísla, třetí je pak hodnota tohoto čísla. Další tři řádky jsou pak počty kombinací, které lze z daného počtu es sestavit tak, aby nikdo neměl dvě esa, měl dvě esa a celkový počet těchto situací. Poslední tři řádky jsou pak vynásobení počtu variant počtem kombinací.
V pravé části jsou pak součty hodnot z levé části tabulky. Pro kontrolu tedy vidíme, že je 75 způsobů sestavení kombinací, kdy nikdo dvě esa nemá, 88 že esa má, což je 163 celkem. A nakonec zeleně je zvýrazněn výsledek naší úlohy. Pravděpodobnost, že někdo má dvě esa při hře čtyř hráčů, je 1,96%.
Závěr
Jak je vidět v celém článku, spočítat pravděpodobnost pro čtyři lidi už není vůbec triviální. Pokud bychom chtěli přidat více lidí, nebo dokonce více typů kombinací než jen dvě esa, celý příklad se ještě více zesložití (Pokud bychom například přidali ještě dva krále, bylo by potřeba pro každého člověka zohlednit, kdy nedostal ani eso, ani krále, kdy dostal jen eso, kdy dostal jen krále a kdy dostal obojí).
Poznámka na závěr
Celý tento článek se zabývá správným postupem, jak dosáhnout požadovaného výsledku. V původním článku na mém blogu doameriky.com jsem se zabýval také ukázáním nesprávných úvah a postupů. Bohužel by článek byl již příliš dlouhý, proto je zde na POKERnews publikována jen část. Pokud by někoho zajímalo, jak správně nepostupovat, a jak může špatná úvaha změnit úplně směr výpočtu, podívejte se prosím na tento článek.
